[例3] 试求出（P∨Q）→R的析取范式，合取范式，主合取范式．
（2009年1月试卷第
16题）
判断有效结论的方法有哪些？究竟什么是直接证法和间接证法，我们该如何去理解？让我们一起来看一看： 判断有效结论的过程就是论证过程，基本方法有真值表法、直接证法和间接证法。要重点掌握后两种方法．
直接证法：就是由一组给定的前提，利用一些公认的推理规则，并根据已知的等价公式和蕴含公式，推演得到有效结论的方法．
在证明过程中一般要用到的两个公认的推理规则，即P规则与T规则． P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用．
T规则：在推导中，如果有一个或多个公式重言蕴含着公式C，则公式C可以作为前提在推导引用．
因此要掌握直接证法，就必须理解并掌握好教材第182页的14个等价公式和14个蕴含公式，并会使用P规则和T规则．
将证明的过程用三列的形式表示，第一列为序号，第二列为当前得到的结论，第三列为得到当前结论的理由或根据．E与I分别表示已经证明成立的等价式与蕴含式．
间接证法：有两种，一种为反证法，是由不相容的概念引出的一种间接证法．
相容、不相容：假设公式H1，H2，…，Hm中的命题变元为P1，P2，…，Pn，对于P1，P2，…，Pn的一些真值指派，如果能使H1∧H2∧…∧Hm的真值为T，则称公式H1，H1，…，Hm是相容的．如果对于P1，P2，…，Pn的每一组真值指派，使得H1∧H2∧…∧Hm的真值为F，则称公式H1，H2，…，Hm是不相容的． 其证明思路就是，如要证明，只要把作为前提使用，推出矛盾的结论即可．
另一种间接证法就是附加前提证明法：该方法使用的前提是有效结论以蕴含的形式出现，即具有这样的形式。则把B作为附加前提使用，只要推出结论C即可。即证明。通常将此方法称为CP规则．
[例1] 试证明（Ｐ∧Ｑ）→Ｒ，┐Ｒ∨Ｓ，┐ＳT ┐Ｐ∨┐Ｑ． [分析]
结论是┐Ｐ∨┐Ｑ，先从远离结论的前提┐Ｓ（或者┐Ｒ∨Ｓ）出发引入第一个前提┐Ｓ，然后根据析取三段论再引入一个含有Ｓ的前提┐Ｒ∨Ｓ（或者┐Ｓ），这样就可以去掉Ｓ了，只剩下Ｒ了，再引入一个含有Ｒ的前提（Ｐ∧Ｑ）→Ｒ，就又可以去掉Ｒ了，只剩下含有Ｐ、Ｑ了，这正是结论所需要的．
[证明过程] (直接证法)
① ┐Ｓ P ② ┐Ｒ∨Ｓ P
③ ┐Ｒ T ①② I ④ (Ｐ∧Ｑ)→Ｒ P ⑤ ┐Ｒ→ ┐(Ｐ∧Ｑ) T④I ⑥ ┐(Ｐ∧Ｑ) T③⑤I ⑦ ┐Ｐ∨┐Ｑ T⑥E
【提示】
判断有效结论的直接证法和间接证法，它的理论根据是14个等价公式（P167），14个蕴含式(P170-171)，三个规则(P规则、T规则和CP规则)。在这些公式中，我们并不需要全部记住，记住最基本的即可，在这些公式中，下列这些式子是最基本的和最常用，其它公式有的可以根据它推导出来。14个蕴含式中最常用和最基本的式子有(1)，(2)，(3)，(8)，(10)，(11)。14个等价式中（12）, （14）式用得较少。利用直接证明法和间接证明法来证明，一个关键问题就是在多个前提条件下，不知道按什么顺序来引入前提？一般的来说是根据析取三段
论（或假言推理）（即教材P170第（9）、（10）式），即一个前提中含有A，再引入一个含有A的前提，就可以去掉A了。这样我们可以先从远离结论的前提入手，逐步推导出结论．
本章主要介绍谓词逻辑的基本概念、基本定理与方法等。经常涉及到的题型有： 谓词公式的翻译
求辖域、约束变元、自由变元、变元换名 在有限个体域下消去量词
谓词推理演算
谓词
用以描述个体的性质或个体间关系的语法模式称为谓词。谓词命名式是谓词与个体和个体变元结合的表示形式，谓词命名式也简称为谓词。
谓词一般用大写字母P、Q、R等表示，个体一般用小写字母a、b、c等表示，个体变元就一般用小写字母x、y、z等表示。
谓词可以写成P(x，y)、H(x，y，z)、F(x)等形式。
[例1] 将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式． [解题过程] 设P(x)：x是人， Q(x)：x去上课． 则语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式为：
【易错点】
有同学会误表示为
．
【提示】
用存在量词
来表明个体的取值量，对各个不同的个体应用描述个体特性的特性谓词P(x)来
加以约束限制时，特性谓词作为合取项加入．
[例2] 将语句“所有的人都学习努力．”翻译成谓词公式． [解题过程] 设P(x)：x是人， Q(x)：x努力学习．
则语句“所有的人都努力学习．” 翻译成谓词公式为：
【易错点】
有同学会误表示为
【提示】
用全你量词
来表明个体的取值量，对各个不同的个体应用描述个体特性的特性谓词P(x)
来加以约束限制时，特性谓词作为条件式的前件加入．
将表明个体取值量上的词“任意”、“所有的”、“全部”、“凡是”、“一切”等称为全称量词。全称量词用表示。
将表明个体取值量上的词“存在”、“有的”、“有些”、“至少有”等称为存在量词。存在量词用表示。
在书写谓词时，通常将个体变元的个体域定义为全总个体域，然后根据需要对各个不同的个体应用描述个体特性的谓词（称为特性谓词）来加以约束限制。 在谓词形式中，特性谓词的加入有两条规则：
(1) 对全称量词，特性谓词作为蕴含式（条件式）的前件加入。 (2) 对存在量词，特性谓词作为合取项加入。
即在命题符号化时要注意：使用全称量词，特性谓词后用；使用存在量词，特性谓词后用。
设G(x)是一元谓词，个体域为D，则 命题xG(x)的真值： xG(x)取1值当且仅当对任意x xG(x)取0值当且仅当有一个 命题xG(x)的真值： xG(x)取1值当且仅当有一个 xG(x)取0值当且仅当对任意x
D，G(x)都取1值。
D，使得G()取0值。
D，使得G()取1值． D，G(x)都取0值．
,试 （2008年9月试卷第[例1]设谓词公式 16题）
（1）写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元． [解题过程] （1）量词的辖域为 第1个量词的辖域为 第2个量词的辖域为（2）
与中的x，
， ．
中的y，以及
，
中的z为自由变元．
中的y为约束变元．
中的z，以及
【易错点】
求辖域容易出错，要注意式中括号的配对．
【提示】
紧跟量词后面的个体变元为该量词的指导变元，在该量词的辖域中与指导变元相同的变元为约束变元，与指导变元不同的或不在任何量词的辖域中的变元为自由变元。
谓词公式可由下述各条规则组成： (1) 原子公式是合式公式。
(2) 若A是合式公式，则A是合式公式。
(3) 若A与B均是合式公式，则(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)是合式公式。 (4) 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元，(x)A与(x)A均是合式公式。 (5) 仅有限次应用规则(1)至(4)构成的公式为合式公式。 由上定义知，命题演算公式也是谓词合式公式。
在变元换名过程中，涉及到一系列的概念，下面我们一起来了解一下吧：
对于 (x)P(x) 或 (x)P(x) 形式的公式，或后面所跟的个体变元x称为相应量词的指导变元。
紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域。
在量词的辖域内指导变元的一切出现均称为变元的约束出现。约束出现的变元称为约束变元。 在公式中，变元的非约束出现称为变元的自由出现。自由出现的变元称为自由变元。
约束变元的换名规则：对约束变元进行换名，即将量词辖域中出现的某个约束变元和相应的指导变元，换成另一个辖域中未曾出现过的变元符号，公式中的其余部分不变。
自由变元的代入规则：对自由变元进行代入，即对自由变元用与原公式中所有变元不同的符号去代替，并且处处代替。
那么在考试中是怎样考的呢？我们来看1道历年真题：
[例1] 下面的推理是否正确，试予以说明． （2009年7月试卷第13题）
[答案]：错误． [分析]
第2步应为：F(y)
前提引入
US（1）．
G(x)
因为F(x)中的x是约束变元，而G(x)中的x是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆。
【易错点】
约束变元与自由变元容易混淆． 【提示】
详细过程应为：
当个体域为有限集合
[例1] 设个体域D={a,b}，则谓词公式
时，消去量词的规则为：
消去量词后的等值式为 ．
[答案]
[解题过程]
所以：
，
,
【易错点】
容易用错合取、析取符号
【提示】
当个体育域为有限集合：
时，消去量词的规则为：
推理理论
谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等价式，重言蕴含式以及P规则、T规则、CP规则在谓词演算中仍然适用． 谓词逻辑中几个常用的等价式：
（注：子公式B中不出现约束变元x）
谓词逻辑的推理演算新增加了添加与消去量词的四条规则：
(1) 全称指定规则（全称量词消去规则），表示为US，即：
此规则是对量词约束的变元任意指定一个个体，其逻辑含义是，如果(任取个体域中某个任意的个体c，而P(c)也是成立的．
(2) 全称推广规则（全称量词附加规则），表示为UG，即：
x)P(x)成立，则可以
此规则是对使得谓词P成立的个体c进行推广，其逻辑含义是，如果对于个体域中任意的个体c，有P(c)成立，则(x)P(x)也成立。
(3) 存在指定规则（存在量词消去规则），表示为ES，即：
此规则是对量词约束的变元指定一个个体，其逻辑含义是，如果(某个个体c使得P(c)成立。
(4) 存在推广规则（存在量词附加规则），表示为EG，即：
x)P(x)成立，则个体域中有
此规则是对使得谓词P成立的个体c进行推广，其逻辑含义是，如果对于个体域中存在某个个体c，使P(c)成立，则(x)P(x)也成立。
[例1] 试证明 [证明过程]
Ｐ ES（1）
T（2）Ｉ(化简规则)
EG（3） T（2）Ｉ(化简规则)
EG（5）
T（4）（6）I 【易错点】
推理规则不易理解和掌握
【提示】
（1）式引入前提后，根据存在指定规则提到（2）式，根据化简规则得到（3）式、（5）式，再根据存在推广规则分别得到（4）式、（6）式，最后根据合取引入规则要证明的结果（7）式．