圆知识点
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内；
A2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； dr3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； OB三、直线与圆的位置关系 d1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； C2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
rdd=rrd
四、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD CD ∴弧AC?弧BD OOBA EDC
B五、圆心角定理
E圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， F只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， OD即：①?AOB??DOE；②AB?DE；
C③OC?OF；④ 弧BA?弧BD ACB六、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
BOA
即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB
DC2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
OB即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角
∴?C??D AC
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所
BA对的弦是直径。 O即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径
C推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OC?OA?OB
BA ∴△ABC是直角三角形或?C?90? O注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 七、圆内接四边形 DC圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴?C??BAD?180? ?B??D?180? BE ?DAE??C A八、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN?OA且MN过半径OA外端
O ∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
MNA 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
九、切线长定理 B切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心OP的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线
A ∴PA?PB
PO平分?BPA C十、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
O 在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt?BOD中进行：
OD:BD:OB?1:3:2；
BBOCDAAED
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt?OAE中进行，OE:AE:OA?1:1:2：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt?OAB中进行，AB:OB:OA?1:3:2.
十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：l?OBAAn?R； 1802OSn?R1?lR （2）扇形面积公式： S?3602lBn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图(选学) S表?S侧?2S底=2?rh?2?r
（2）圆锥侧面展开图(选学) （1）S表?S侧?S底=?Rr??r
十二、圆与圆的位置关系(选学)
外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r；
相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）? 无交点 ? d?R?r；
ACr积
D1母线长AD2底面圆周长BCB1C1O2RBdR图1rRdr图2dR图3r
d
图4RrdrR图5
圆练习
一.选择题
1．在⊙O中，弦AB 2．如图,AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10 cm,CD=8 cm ，则A、B两点到直线CD的距离之和为( ) Ａ．12 cm Ｂ．10 cm Ｃ．8 cm Ｄ．6 cm 3．下列命题正确的是（ ） Ａ．相等的圆心角所对的弧是等弧 Ｂ．等圆周角对等弧 Ｃ．任何一个三角形只有一个外接圆 Ｄ．过任意三点可以确定一个圆 4．如图，圆内接四边形ABCD中，AC、BD交于E点，且BC=DC,则图中共有相似三角形（ ） Ａ．2对 Ｂ．4对 Ｃ．6对 Ｄ．8对 5 ．如图，弦AB∥CD,E为弧CD上一点，AE平分?CEB，则图中与?AEC相等（不包括?AEC）的角共有（ ） Ａ．3个 Ｂ．4个 Ｃ．5个 Ｄ．6个 ??1?t:t??2，6．两个扇形的面积相等，其圆心角分别为?、，且则两个扇形的弧长之比12（ ）Ａ．1:2 Ｂ．2:1 Ｃ．4:1 Ｄ．1:2 7．一段铁路弯成圆弧形，圆弧的半径是2 km，一列火车以每小时28 km 的速度行驶，经过10 s通过弯 道，那么弯道所对的圆心角的度数为（ ） Ａ．4.4° Ｂ．44° Ｃ．2.2° Ｄ．22° 8．在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） Ａ．3 Ｂ．23 Ｃ．33 Ｄ．43 9. 如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ ） 二、填空题 1．若三角形的三条边长分 别为5,12,13，则这个三角形外接圆的半径为___________． 2．一条弦把圆分成2:3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为______________． 3．如图,A、B、C是⊙O上顺次三点，若?OAB?44?，则?ACB＝_______________． 4．如图△ABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4 cm,∠A=30°,则AC=______________. 5．如图，?AOB=100°，则圆周角?ACB=__________. 6．已知扇形周长为14cm,面积为12 cm2，则扇形的半径为_____________cm. 7．如图，以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆，阴影部分的面积记为m，空白部分的面积记为n，则m与n的关系为_____________． 8．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D,且?BOD?48?,则?BAC=___________. 9. 如图，BP与半圆交于点Q，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD 中点，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②＿＿．（填写序号） ；③S△PDQ＝ ；④cos∠ADQ= ．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题 1．如图27-13，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8 m时最大水深0.2 m,当水面上升0.2 m时水面宽多少？ 2．已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么，这条锁链拉直后的长度为多少？ 3．如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？ 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD 交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． C （1）求证：BC与⊙O相切； （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数． 5. 如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． C （1）求弦AB的长； （2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； SP D 2（3）记△ABC的面积为S，若DE＝43，求△ABC的周长. A B E O 6. 如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点． （1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）求线段CD长的最小值； （3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．