257
习题16
GG上传
?16-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为B的均匀磁
?场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面
内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。
解：（1）由法拉第电磁感应定律?i??应电动势?i?0； （2）利用：?ab?d?，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感dt?ab???(v?B)?dl，有：?ab?Bv?2R?2BvR。
【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】
16-2．如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距d?0.5cm 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。 不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？
解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。 首先用
???0IB?dl??I求出电场分布，易得：， B?0???l2?r则矩形线圈内的磁通量为：???x?ax?0I?0Ilx?a， ?ldr?ln2?r2?x由?i??NN?0Il1d?1dx，有：?i?? (?)?dt2?x?axdtN?0Ilav2?(d?a)?1.92?10?4V。
∴当x?d时，有：?i?解法二：利用动生电动势公式解决。 由
???0IB?dl??I求出电场分布，易得：， B?0???l2?r考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：?1?NB1lv， 远端部分：?2?NB2lv，
258
N?0I1N?0Ialv1则：???1??2?(?)lv??1.92?10?4V。
2?dd?a2?d(d?a)16-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面
?且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势?并比较Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：
??0I??d??(v?B)?dl?v?dr，
2?r?0vI∴???2??d?ld?0vId?ldr??ln，
2?dr由右手定则判定：Ua >Ub。
解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路abb'a'，如图，
???0Iyd?ld?l?0I???B?dS??ln， ydr?Sd2?d2?ra'dryb'r?0Id?ldy?0Ivd?ld?∴???。 ??ln???lndt2?ddt2?d由右手定则判定：Ua >Ub。
16-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。
??BAO?AO??0Iv2R?0Iv????(v?B)?dl???dx??ln2，
R2?x2?5??0Iv5R?0Iv????(v?B)?dl???2dx??ln，
2R2?x2?4B?OBA?O∴?AB??AO??OB?0Iv5??ln。
2?2解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那么，B???0I?0I?0I??，再由???(v?B)?dl有： ??2?x2?(2R?Rcos?)2?R(2?cos?) 259
d??B?Rd??vsin?，∴????2?30?0I2?R(2?cos?)?Rvsin?d????0Iv5ln。 2?216-5．电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图
所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按
B?B0sin?t的规律变化。已知a?10cm，B0?2?10?2T，
??50rad/s，R?10?，求线圈中感应电流的最大值。
解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。
?i??d?dB??(???4a2??a2)?3?a2B0?cos?t， dtdt3?a2B0?cos?t?∴I? RR?iImax5πa2B0ω3π?0.12?2?10?2?50???9.42?10?3A。
R10
16-6．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中， 已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量，求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势。
???0IB?dl??I解：首先用?求出电场分布，易得：， B?0??l2?x则矩形线圈内的磁通量为：???d?ad?0I?0Ild?a?0I0ld?a， ?ldr?ln?sin?tln2?r2?d2?d∴???N
N?0I0ld?d?a???cos?tln。 dt2?ddB?0的磁场，一直导线弯成等腰梯形的dt闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合
16-7．如图所示，半径为a的长直螺线管中，有
回路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差UB?UC。 解：（1）首先考虑?OAD，S?OAD?∴?感1??1332a?a?a， 224d?dB32dB， ???S?OAD??a?dtdt4dt 260
??????????而?感1???E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??DA
lAOODADDA∴?AD?32dB； a?4dt1?2?dB?a，∴?感2??a2?， 236dt再考虑?OBC，有效面积为S扇OAD?同理可得：?BC??6a2?dB； dt32dB，逆时针方向。 )a?64dtR
（2）由图可知，AB?CD?a，所以，梯形各边每段a上有电阻r?，
5
??3a2dB回路中的电流：I??(?，逆时针方向； )?R64Rdt那么，梯形闭合回路的感应电动势为：???BC??AD?(??那么，UB?UC?I?2r??BC?I?2??32dBR??BC??()a?。 510dt
16-8．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h， 电阻率为?，如图所示。若匀强磁场以
dB?k（k?0，k为恒量） dt的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。
解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁，
?dB?dB2有：?，即：E?dl???r????r2?k?r2， 涡?l涡dtdtl由电阻公式R??，考虑涡流通过一个dr环带，如图，
S2?r有电阻：R??，
hdr 涡流(k?r2)2k2?h3而热功率：dP?iR??rdr，
2?r2??hdr2k2?hR3k2?hR4∴P?。 rdr?2??08?
216-9．一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积3.0cm，磁导率??200?0，绕组中通有电流5.0mA，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在0.10s内由5.0A降低到0，次级绕组中的互感电动势。
40?4000匝，N次?2，??200?0?8??10?5，S?3?10?4m2。 0.01（1）由题意知螺绕环内：B??nI，则通过次级线圈的磁链： ?次?N次BS?N次?nIS，
解：已知n初? 261
∴M??次I初?N?nS?2?8??10?5?4000?3?10?4?6.03?10?4H； ?I初5?0?6.03?10?4??3.02?10?2V。 ?t0.1（2）?次?M16-10．磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆形空间B，一金属杆放在如图14-47
所示中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场外。当
dB?0时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。 dt解：∵?ac??ab??bc，而：?abd?扇形Oab， ??dt∴?abd323R2dB， ??[?RB]?dt44dtd??Obcdtd?R2?R2dB3R2?R2dB，∴?ac?[； ??[?B]??]dt1212dt412dt?bc??∵
dB?0，∴?ac?0，即?ac从a?c。 dt
16-11．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：
?0NIB?2?r???R2(R1?r?R2)则????S??B?dS，有：
R1?0NIhR2?0NI ?h?dr?ln2?r2?R1??0N2hR2ln利用自感定义式：L?，有：L?。
I2?R1
16-12．一圆形线圈A由50匝细导线绕成，其面积为4cm2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴。设线圈B中的电流在线圈A所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感；
（2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈A中的感生电动势的大小。 解：设B中通有电流I，则在A处产生的磁感应强度为：
?NI?NIB?0B2?2?RB?0B
4?RB2RBAB?