262
（1）A中的磁通链为：?A?NABSA??0NANBI2RB?SA。则：M??AIB??0NANBSA2RB，
4??10?7?50?100?4?10?4?20??10?7?6.28?10?6H。 ∴M?2?0.2d?A?0NANBSAdI（2）∵???6.28?10?6?50?3.14?10?4V,∴?A?3.14?10?4V。
dt2RBdt
16-13．如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（b>>a），在t?0时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I，小圆形线圈以角速度?绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求：（1）当小线圈转过90时，小线圈所受的磁力矩的大小；
（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕—萨定律，知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为：
?B??0I2b，由于b>>a，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场，
磁感应强度即为B??0I2b，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量：
??B?S??0I2b??a2cos?t，
1d??0I??a2小线圈的感应电流：i????sin?t，
Rdt2bR?0I??a2小线圈的磁矩：pm?iSa?(?sin?t)??a2，
2bR22????0I??2a42（1）由M?pm?B，有：M?pm?Bsin?t??sin?t 24bR当?t??2时：M?22?0I??2a44b2R；
（2）A?M?d?
??22?0I??2a4?4b2R?20sin?td?t?222?0I??2a4?4b2R?2022?0I??3a41?cos2?t。 d?t?216Rb2
16-14．一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，导体圆柱的磁导率为?1，筒与圆柱之间充以磁导率为?2的磁介质。电流I可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。
12B2解：考虑到Wm?LI和wm?，可利用磁能的形式求自感。
22?由环路定理，易知磁场分布：
263
?1Ir?B??12?R2?1??B??2I2?2?r?(r?R1)
(R1?r?R2)22B1B2则：Wm??wmdV??dV??dV
2?12?2∴单位长度的磁能为：
?2I2?1I2?2I2R2?R(2?r)?2?rdr?16??4?lnR1， ?1?2R2利用Wm?LI2/2，有单位长度自感：L?。 ?ln8?2?R1R21Wm1R1?1Ir21?()?2?rdr?2l2?1?02?R12?2
16-15．一电感为2.0H，电阻为10Ω的线圈突然接到电动势??100V，内阻不计的电源上，在接通0.1s时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率；（3）电池组放出能量的速率。
R?t12?解：（1）利用磁能公式Wm?LI及LC电路通电暂态过程I(t)?(1?eL)，
2RRR2?t?t1?L?2L2(1?e)， 有磁场总储能：Wm(t)?L[(1?eL)]?22R2RRR?t?tdW(t)?2L对上式求导得储能增加率：?(1?e)eL，
dtRdW(t)将L?2.0H，R?10?，??100V，t?0.1s代入，有：t?0.1s?238Js；
dtdQ（2）由?P?I2R，有线圈中产生焦耳热的速率：
dtRR?t?tdQ(t)dQ(t)??222L?IR?[(1?e)]R?(1?eL)2；代入数据有：
dtdtRRR?tdE?2（3）那么，电池组放出能量的速率：?I??(1?eL)，
dtRdE代入数据有：t?0.1s?390Js。
dtt?0.1s?152Js；
?1216-16. 在一对巨大的圆形极板（电容C?1.0?10F）上，加上频率为50Hz，峰值为
1.74?105V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。
解：设交变电压为：u?Umcos?t，利用位移电流表达式：ID?有：ID?Cdq， dt∴IDm
16-17．圆形电容器极板的面积为S，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线在极板间
du???CUmsin?t，而??2?f， dt?2?fCUm?2??50?10?12?1.74?105?5.46?10?5A。
264
沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为R，两极板间的电压为U?U0sin?t，求： （1）细导线中的电流；
（2）通过电容器的位移电流； （3）通过极板外接线中的电流；
（4）极板间离轴线为r处的磁场强度，设r小于极板半径。
UU0?sin?t； RR?SdqdU（2）通过电容器的位移电流：id??C?CU0?cos?t?0U0?cos?t；
dtdtdU?S（3）通过极板外接线中的电流：i?iR?id?0sin?t?0U0?cos?t；
Rd??U0?r2?0S（4）由??lH?dl??I有：2?r?H?Rsin?t?S?dU0?cos?t，
U0?r∴H?sin?t?0U0?cos?t 。
2?rR2d解：（1）细导线中的电流：iR?思考题16
16-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为A，
?匝数为N，电阻为R，其法向n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解：q?Idt?∴B??11d???NBA， ?dt?dt????RRdtRRRq。 NA
16-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。 （a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd，以?ab表示在导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的感应电流，则 A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。
（b）位于圆形区域直径上的导体棒ab通过导线 与阻值为R的电阻连接形成回路，以?ab表示在 导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的 感应电流，则：
A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。
答：（a）选C；（b）选D。
?16-3．在磁感应强度为B的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度?旋转（如图所示）。
（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？
（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？ 答：（1）由??BScos??BScos?t， 而：I??R?1BS?sin?t， R 265
1BS2?sin?t； R1222（2）M?Bpmsin?t?BS?sin?t，
R2?1??B2S2222BS?sin?d??∴W??Md???。 0RR∴pm?IS?
16-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?
dq，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以q在dt电容器两极板拉开过程中不变化，有ID?0； （2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，q下降且引起?答：（1）利用位移电流表达式：ID?下降，使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。
16-5．图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内，试在图b中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答：（1）Id??0?R2dEdE，（，位移电流在圆柱形区域内 ?0）dtdt均匀分布，分布具有轴对称性；
（2）应用安培环路定理：
Id?Br?R时，B内?r?R时，B外??0Id?0?0dEr?r，B内与r成正比， 22?R2dr?0?0dE2drR，B外为定值不变。
16-6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场，所产生的感生电场场强为Ei，在不包含磁场的空间区域中分别取闭合曲面S，闭合曲线l，则：
????????E?dS?0，E?dl?0E?dS?0，E； B．???Si??li???Si??li?dl?0；
????????C．???Ei?dS?0，??Ei?dl?0； D．???Ei?dS?0,??Ei?dl?0。
A．
SlSl答：选B。
16-7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；（3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。
????????D?D?dS?qB?dS?0解：（1）?；（2）；（3）H?dl?I??i?c?S?t?dS ?S??S??S????B?（4）??SE?dl???S?t?dS