-1
当a不等于正负1时，有唯一解; 当a=1或-1时有无穷多解.
9、某一种甲虫最多可活两年，且其年龄群体分配数的矩阵如下：
06??0?A??1/200????01/30??
如果有600只在第一年龄群体，300只在第二年龄群体，100只在第三年龄群体，则
年复一年各年龄群体的甲虫数目是否会改变，从数学上给以解释。
>> x0=[600;300;100];
>> A=[0 0 6;1/2 0 0;0 1/3 0]; >> x1=A*x0 x1 = 600 300 100
>> x2=A*x1 x2 = 600 300 100 x3 = 600 300 100
>> x4=A*x3 x4 = 600 300 100
>> eig(A) ans =
-0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 1.0000
>> x=[600;300;100];d1=1.0000; >> A=[0 0 6;1/2 0 0;0 1/3 0]; >> y=A*x; >> y1=d1*x; >> k=1;
>> while max(abs(y-y1))>0.1 x=y; y=A*x; y1=d1*x; k=k+1; end
可知，当k为正整数时，x^(k+1)=x^k .所以，年复一年各年龄群体的甲虫数目不改
变
10、设定两个一般的4阶上三角矩阵，用MATLAB验证其乘积还是上三角矩阵，其逆矩阵 还是上三角矩阵。
>> a=[1 5 7 6;0 5 6 7;0 0 4 6;0 0 0 9]; b=[1 8 1 7;0 7 7 4;0 0 1 9;0 0 0 8]; a*b
ans =
1 43 43 138 0 35 41 130 0 0 4 84 0 0 0 72
>> inv(a)
ans =
1.0000 -1.0000 -0.2500 0.2778 0 0.2000 -0.3000 0.0444 0 0 0.2500 -0.1667 0 0 0 0.1111
11、求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断能否对角化，若能，则将其对角化。
??120??；
?230⑴ A??????302??>> a=[-1 2 0;-2 3 0;3 0 2];
>> [v d]=eig(a) v =
0 0.3015 0.3015 0 0.3015 0.3015 1.0000 -0.9045 -0.9045 d =
2 0 0 0 1 0 0 0 1
>> rank(v)
ans =
2
V不满秩，不可相似对角化。
??211??? ⑵ A?020； ?????413??
>> a=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; >> [v d]=eig(a) v =
-0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 d =
-1 0 0 0 2 0 0 0 2
>> rank(v)
ans =
3
V满秩，可相似对角化。
?54?2??? ⑶ A?452。 ?????228??>> a=[5 4 -2;4 5 2;-2 2 8];
>> [v d]=eig(a) v =
-0.6667 -0.6464 0.3712 0.6667 -0.7398 -0.0909 -0.3333 -0.1868 -0.9241 d =
-0.0000 0 0 0 9.0000 0 0 0 9.0000
>> rank(v)
ans =
3
V满秩，可相似对角化。
12、 将下列二次型化为标准型：
22?3x3?4x1x2?4x2x3； ⑴ f(x1,x2,x3)?x12?2x2>> a=[1 -2 0;-2 2 -2;0 -2 3];
>> [v d]=eig(a) v =
-0.6667 -0.6667 0.3333 -0.6667 0.3333 -0.6667 -0.3333 0.6667 0.6667 d =
-1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 5.0000
⑵ f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x2x3。
>> a=[0 1 0;1 0 -1;0 -1 0]; >> [v d]=eig(a) v =
-0.5000 0.7071 -0.5000 0.7071 -0.0000 -0.7071 0.5000 0.7071 0.5000 d =
-1.4142 0 0 0 -0.0000 0 0 0 1.4142
成绩评定： 指导教师：
年 月 日