概率论与数理统计教案
授课时间 授课方式 授课单元 要求与目的 2月9日至3月2日 理论课 第一章 概率论的基本概念 通过教学使学生了解概率论的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式），掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算。 重点与难点 (1) 重点是概率论的基本概念理、概率的常用公式 课时数 8 (2) 难点是古典概型、几何概型、贝努里概型概率的计算 主要内容 一、基本概念 随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件?。不可能事件?，完备事件组、概率的定义、古典概型、几何概型、条件概率、事件的独立性 二、事件的关系的关系与运算 事件的包含关系、事件的相等、并(和)事件与积(交)、差事件、对立事件、互不相容事件（互斥事件）、事件的运算法则 三、常用公式 1.加法公式 2.减法公式 3.对立事件概率公式 4.乘法公式 5全概率公式 6、贝叶斯公式 7.贝努里概型 教学方法 参考资料 讲授式 讲练结合 《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率论与数理统计》吴传生编，高等教育出版社 思考题
P7-4,5 p11-7 p14-13 p20-22,23 p24-26,29 讲 稿
第一章 概率论的基本概念
一、基本概念 1. 随机试验 2. 样本空间
试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母?表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点. 3．随机事件
?中的元素称为样本点，常用?表示。
(1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。 (2) 样本空间的单点子集称为基本事件。
(3) 实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。 (4) 必然事件?。 (5) 不可能事件?。
(6) 完备事件组（样本空间的划分） 4．概率的定义（公理化定义） 5．古典概型
随机试验具有下述特征：
1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性是相等的； 称这种数学模型为古典概型。
P(A)=
kn?A包含的基本事件数基本事件总数
?。
6．几何概型 p(A)?7．条件概率
设事件B的概率p(B)?0.对任意事件A，称P(A|B)=件下事件Ａ发生的条件概率。 8．条件概率的独立性
P(AB)P(B)A的长度（面积、体积）?的长度（面积、体积）
为在已知事件Ｂ发生的条
A、B ?F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件A,B,C满足
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。
二、事件的关系的关系与运算 １.事件的包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A， 记作A?B。 ２. 事件的相等
设A,B??,若A?B，同时有B?A，称A与B相等，记为A=B， ３.并(和)事件与积(交)事件
“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作A?B . “A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作A?B或A?B ４.差事件
“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A?B ５.对立事件
称“??A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。
?? A?A?A AA?? ６.互不相容事件（互斥事件）
若两个事件A与B不能同时发生，即AB??，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。 ７.事件的运算法则
1)交换律 A?B?B?A,AB?BA
2)结合律 ?A?B??C?A??B?C?,?AB?C?A?BC? 3)分配律 ?A?B??C??A?C???B?C? (A?B)?C?(A?C)?(B?C)
4)对偶原则 A?B?A?B ，A?B?A?B 三、常用公式 1.加法公式
（1）对任意两个事件A、B，有P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB) （2）对任意三个事件A、B，C
p(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?p(AB)?p(AC)?p(BC)?p(ABC)
2.减法公式
若A?B 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)?P(A) P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式
对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）； 4.乘法公式
当p(A)?0时:
p(AB)?p(A)P(B|A
p(ABC)?p(A)P(B|A)p(C|AB) 5全概率公式
n定理1：设 B1,B2,?,Bn是 一列互不相容的事件，且有?Bi??,对任何事件A，
i?1n有P(A)= ?P(Bi)P(ABi)
i?16、贝叶斯公式
n定理2：若B1,B2,?,Bn是一列互不相容的事件，且?Bi??
i?1则对任一事件A有p(Bi|A)?p(Bi)p(A|Bi)n
?j?1p(Bj)p(A|Bj)两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段； 两个公式的不同点：
全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”
贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因” 7.贝努里概型
?贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型
设随机试验E具有如下特征： 1）每次试验是相互独立的；
2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A；
3）每次试验的结果发生的概率相同 p(A)?p?0 p(A)?1?p?q
称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为E。
kkn?k设事件A在n次试验中发生了X次，则P{X?k}?Cnp(1?p),k?1,2,?,n
n四、举例
例1.已知p(AB)?p(AB)，p(A)?p，求p(B)
【解】 p(AB)?p(AB)?p(A?B)?1?[p(A)?p(B)?p(AB)]
p(B)?1?p
例2.已知p(A)?p(B)?p(C)?个发生的概率。
【解】 p(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?p(AB)?p(AC)?p(BC)?p(ABC)
141414185814,p(AB)?p(BC)?0,p(AC)?18,求A,B,C至少有一
=???0??0?0?
例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。
【解】设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球 基本事件总数为C6=15
A的有利样本点数为C42?6, P(A)=6/15=2/5 B的有利样本点数为
C2?122, P(B)=1/15
P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15
P(C)=1-P(B)=14/15
例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？ 【解】用X表示取到白球数
42?2?2??P(A)=p{X?2}=C2???1??=
93??3??20 P(B)=
022?10?2??p{X?0}=C2???1????3??3?9
P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9
P(C)=1-P(B)=8/9
例5（抽签原理）有a个上签，b个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是
aa?b
【证】放回抽样结论是显然的；