【解】2X?1~????1?0.210.220.630.440.25?? ?0.2???? ?2X2?0~??0.2?2.一维连续型随机变量函数的分布
设y?f(x)为一通常的连续函数，令Y?g(X)，其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并称它为随机变量X的函数. （1）FY(y)?p{Y?y}?p{g(X)?y}? fy(y)?FY/(y)
例7：已知X~N(2,4)，求Y?2X?1的概率密度。
122??(x?2)82?f(x)dx
g(X)?y【解】 fX(x)?e
y?12 FY(y)?p{Y?y}?p{2X?1?y}?p{X?122?y?1?(x?2)82}
??2_?edx
2/ fy(y)?FY(y)=
142?e?(y?3)24 ???y??
例8：已知随机变量X的概率密度为
?2x? fX(x)?????00?x?8other
求Y?sinX的概率密度。 解题步骤：
（1）求出x的有效作用范围（fX(x)?0的范围）， 并根据y?g(x) 求出Y的有效作用范围[a,b] ;
(2)当y?a时，FY(y)?p{Y?y}?0
当y?b时，FY(y)?p{Y?y}?1 当a?y?b时，
FY(y)?p{Y?y}?p{g(X)?y}??f(x)dx
g(X)?y （3）fy(y)?FY/(y)求出概率密度。 【解】（1）0?x?8时，y?sinx ，0?y?1;
(2)当y?0时，FY(y)?p{Y?y}?0 当y?1时，FY(y)?p{Y?y}?1 当0?y?1时，
FY(y)?p{Y?y}?p{sinX?y}
?p{0?X?arcsiny}?p{??arcsiny?X??}
=?arcsiny02x?dx?????arcsiny2x?dx
1?? （3）fy(y)?FY/(y)???1?y2?0?0?y?1other
例9：设随机变量X的概率密度为
?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2
其他;?0,?F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
【解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于x?[1,8]，有
x3 F(x)??13t21dt?3x?1.
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当y?0时，G(y)=0；当y?1时，G(y)=1. 对于y?[0,1)，G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}
3 =P{3X?1?y}?P{X?(y?1)}=F[(y?1)]?y.
3于是，Y=F(X)的分布函数为
?0,若y?0,? G(y)??y,若0?y?1,
?1,若y?1.?例10：设随机变量X的概率密度为
?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，
?4?0, 其他??令Y?X2求Y的概率密度fY?y?
【解】 设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)?P(Y?y)?P(X1) 当y?0时，FY(y)?0； 2) 当0?y?1时， FY(y)?P(X ?22?y)，则
?y)?P??y?X?34y. y
??0?y122dx??y041dx?3) 当1?y?4时，FY(y)?P(X ?4) 当y?4，FY(y)?1. 所以
?y)?P?1?X??y 12??0?112dx??y014dx?14y?.
?3,0?y??8y??1??,y1? fY(y)?FYy(?)?8y??0,其他???1. 4定理 设?是一个连续型随机变量，其密度函数为p(x)，又y?f(x)严格单调，其反函数
h(y)有连续导数，则??f(?)也是一个连续型随机变量，且其密度函数为
?p[h(y)?]hy'(?)?,y?? ?(y)??
0,其他?其中
??minf{??(??maxf{??(f),??(f),??(
))} 证明 不妨设f(x)是严格单调上升函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调上升函数，于是
(? F?(y)?P?y?)P(?f(?) y ?P(??h(y))?由此得?的密度为
?h(y)??p(x)dx,f(??)?y?f(??)
]y'(f)??,(?y)?f??(?p[h(y)?h'y?)? ?(y)?F?(
?0,其他)同理可证当f(x)严格单调下降时，有
]y'(f)??,(?y)?f??(??P[h(y)?h?0,其他 ?(y)??
由此定理得证.
2 例11： 设?~N(?,?)，又y?f(x)?x???，易验证这时定理3.1的条件满足，又因
为y?f(x)的反函数为h(y)??y??，所以有
12??y2 ?(y)?p[h(y?)]h'(y?)????~N(0,1).
2e???? (y)由此可见??
教学后记