=z?14z2;
3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.
0,?z?0,?1即分布函数为： FZ(z)??z?z2,0?z?2,
4?z?2.1,?故所求的概率密度为：
1??1?z,0?z?2, fZ(z)??2其他.??0,例3．X,Y独立且都服从[0,1]上的均匀分布，，求Z?X?Y的概率密度。
?1 解： fX(x)???00?x?1?1 fY(y)??other?00?x?1other
X,Y独立，所以
?1f(x,y)?fX(x)fY(y)???00?x?1,0?x?1other
当z?0时，FZ(z)?P{X?Y?z}?0； 当0?z?1时，FZ(z)?P{X?Y?z}?当1?z?2时，FZ(z)?P{X?Y?z} =1?12(2?z)212z2；
;
当z?2时，FZ(z)?P{Y?y?z}?1.
?z0?z?1,? fZ(z)??2?z1?z?2,
?0othe.r?例4．练习册P32 10题
例5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???3x,0?x?1,0?y?x,?0,其他.
f(z).求： Z?X?Y的概率密度Z
例6．设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X~??0.3?密度为f(y)，求随机变量Z=X+Y的概率密度.
?12??，而Y的概率?0.7?解：FZ(z)?P{X?Y?z}
?p{X?1}p{X?Y?z|X?1}?p{X?2}p{X?Y?z|X?2} ?0.3p{Y?z?1|X?1?0.7p{Y?z?2|X?2}
?0.3p{Y?z?1}?0.7p{Y?z?2} (因为X与Y独立) ?0.3?z?1??f(y)dy?0.7?z?2??f(y)dy
fZ(z)?0.3f(z?1)?0.7f(z?2) 例7 Z?max{X,Y},Z?min{X,Y}的分布
FZ(z)?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}；
FZ(z)?P{min{X,Y}?z}?1?P{min{X,Y}?z}?1?P{X?z,Y?z}；
设随机变量X与Y独立，FX(x),FY(y)分别是他们的分布函数，Z?min{X,Y}， 求FZ(z)
解：FZ(z)?P{min{X,Y}?z}?1?P{min{X,Y}?z}?1?P{X?z,Y?z} =1?[1?FX(z)][1?FY(z)]=FX(z)?FY(z)?FX(z)FY(z)
教学后记
教 案
授课时间 授课方式 授课单元 要求与目的 4月23日至5月11日 理论课 第四章 随机变量的数字特征 通过教学使学生了解随机变量的数学期望、方差、协方差与相关系数的概念，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的求法。 重点与难点 (1) 重点是数学期望、方差、协方差与相关系数的概念与求法 课时数 6 (2) 难点是协方差与相关系数的概念与求法 主要内容 一、随机变量的数学期望 1．数学期望的定义 2．随机变量函数的数学期望 3.随机变量的数学期望的性质 二、方差 1.方差的定义 常用的计算方差的公式 22 DX?E(X)?(EX) 2．方差的性质 3.常见分布的方差 三、协方差与相关系数 1.随机变量的协方差 2.二维随机变量的相关系数 教学方法 参考资料 讲授式 讲练结合 《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率论与数理统计》吴传生编，高等教育出版社 思考题 P89-4 p97-15 p102-21
第四章 随机变量的数字特征
一、随机变量的数学期望
1．数学期望的定义
定义:(1)若离散型随机变量X可能取值为ai(i?1,2,?)其分布列为pi(i?1,2,?)，
??则当?aipi??时，称X存在数学期望，并且数学期望为EXE??i?1?ai?1ipi.
(2) 设X是一个连续型随机变量，密度函数为p(x)，当?时,称X的数学期望存在，记作EXE?? 2．随机变量函数的数学期望
???xp(x)dx??
????xp(x)dx。
? (1)若X是一个离散型随机变量，Y?g(X)，如果?g(ai)pi??，则有，
i?1?Eg?))?EY?Eg((X?gi?1(ai)pi
(2)若X是连续性随机变量，密度函数为p(x)，Y?g(X)，且
????Ef(X?)?f(x)p(x)dx??，则有EY?Eg????f(x)p(x)dx
(3)若(X,Y)是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为
Xa?xi?,Ybj??yjp}ij,i,j?1,2,?，Z?g(X,Y) PP?{?? i??ijEg(?,,Y?))? EZ?Eg(X??g(a,bi?1j?1)pij
(4)设(X,Y)是二维连续型随机变量，密度函数为p(x,y)，Z?g(X,Y) E?f?,?? EZ??EgE(X,Y))????????f(x,y)p(x,y)d xdy3.随机变量的数学期望的性质
(1)若C是一个常数，则EC?C.
(2)若EX,EY存在，
E(cX)?cE(X)