（1）分布律表示方法——公式法
（2）分布律表示方法——列表法
也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：
? 分布列的性质:
非负性：1）pi?0
?
规范性：2）?pi?1
i?1分布函数 F(x)??0例1: 已知X~?1??41?a?xi?xpi
2?? (1)求a，(2)分布函数 2a??x?00?x?11?x?2x?2?0?11?4【解】a?? F(x)??32?4?1?
例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律；（2）为随机变量X的分布函数 【解】X可能取值为0，1，2。
P{X?0}?310,P{X?1}?135610?35,P{X?2}?110
?0X的分布律 X~?3??10?0?1?10F(x)??9?10?1?2?1? ?10?x?00?x?11?x?2x?2
三、连续型随机变量
1.一维连续型随机变量的概念
定义1 若X是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有F(x)??x??f(t)dt，则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称
f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度.
2.密度函数f(x)具有下述性质：
（1）非负性f(x)?0 （1）规范性?????f(x)dx?1
（3） x?(?X)?P(px{???xx22})?F(x2)?F(x1)?11 （4）p{X?x0}?0 （5）由F(x)?
dF(x)dx?xx2x1x1pf((yx)dy)dx
?x??p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有
?F'(x)?p(x)
例3：设随机变量X的分布函数为 F(x)?A?Barctanx。
（1）求A，B ，f(x) (2)求 p{X?1|X??1}
【解】 F(??)?limF(x)?0
x???Fx(?) F(??)?limx??? 得 A?12，B?1?， f(x)?1?(1?x)?2
1?F(1)1?F(?1)13 p{X?1|X??1}=
p{X?1,X??1}p{X??1}p{X?1}p{X??1}??
?kx?x例4：设随机变量X的概率密度函数为 f(x)??2?2??00?x?33?x?4。 other（1）k (2)分布函数 （3）求 p{1?X?414872}
【解】 （1/6）（四、常见分布
）
(1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量?的的分布列为
?01?? P? ??1?P其中0?P?1，则称?服从两点分布，亦称?服从（0—1）分布，简记为?~(0—1）分布. (2)二项分布 若离散型随机变量?的分布列为
k p(??k)?Cnpq,k?nkk?0,1?,2, n其中0?p?1,q?1?p，则称?服从参数为n,p的二项分布，简称?服从二项分布，记为
?~b(k;n,p).
nk 易验证 P(??k)?0?,Cnk?0pqk?nk?(p?q)? 1n显然，当n=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.
(3)普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量?的所有可能取值为0，1，2，?，且取各个值的概率为 P(??k)??ek??k!,k?0,1?,2 ,,其中??0为常数，则称?服从参数为?的普哇松分布，记为?~P(k;?).易验证
(1P)?(?k?)0k,?0,?1,2,;
?(2?)P?(?k?)?k?0?kk!e???
1 定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为pn（与试验总数n有关）如果当n??时，npn??(??0常数），则有
(n;n,p?) limbk?x?0k!?k??e?k,0?,1 ,2, (4)几何分布 设?是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,?.而取各个值的概率为 P(??k)?(1?p)k?1p?qk?1p,k?1,2.?.
其中0?p?1,q?1?p，则称?服从几何分布.记为?~g(k,p).易验证
(1P)?(?k?)pq?k?10?k,1?,2,
?(2?)pqk?1k?1?1
(5)均匀分布
若随机变量?(?)的概率密度函数为
?1? p(x)??b?a?0?a?x?b其他
时，则称随机变量?(?)服从[a,b]上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为
?0??x?a F(x)???b?a??1x?aa?x?bx?b
记为?~U[a,b]. (6)指数分布
若随机变量X的分布函数为
?1?e??x F(x)?p{X?X}???0x?0x?0
概率中称X服从参数为?的指数分布.而随机变量X的概率密度为 ??e??x, p(x)???0,x?0x?0
(7)正态分布
设随机变量X的概率密度为
pf((xx))?12???(x??)2?22e,???x?? （*）
2X~N(?,?) ?,?(??0)是两个常数，则称设随机变量X服从?,?的正态分布，记为(??相应的分布函数为
F(x)?12???x???(y??)2?22edy,???x??
并且称F(x)为正态分布，记作N(?,?2).如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是一个正态变量.
N(0,1)分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以?(x)表示，相应的分布函数
则记作?(x)，所以?(x)??x???(y)dy?12??x??e?y22dy
(1)?(x)是偶函数，图像关于y轴对称，f(x)关于x??对称； （2）?(x)在x?0，f(x)在x??取得最大值； （3）x??1是?(x)的拐点，x???是f(x)的拐点； （4）若X~N(?,?2)，则p{X??}?p{X??}?0.5 （5）?(?x)?1??(x)
例5：设随机变量?服从正态N(108,9)分布，
（1）求P(101.1???117.6). （2）求常数a,使P(??a)?0.90 【解】
??108??(1)P(101.1???117.6)?P??2.3??3.2?3????(3.2)??(?2.3)??(3.2)?(1??(2.3))?0.999313?1?0.989276?0.988589;
（2）P(??a)?P?????1083?a?108???0.90，所以 3?
a?1083?1.28,a?111.84；
五、一维随机变量函数的分布 1.一维离散型随机变量函数的分布 例6，已知X~??0.2???100.210.42?2?2X?1,2X， 求的分布列。 ?0.2?