1 ?XY?Cov(X,Y)DX?DY?3611818.1?12
例3设X~N(?,?2)，Y~N(?,?2) ，X,Y相互独立，令Z1?aX?bY, Z2?aX?bY，a?0,b?0，求?XY。
解：DZ1?D(aX?bY)?a2DX?b2DY?(a2?b2)? （X与Y独立） DZ2?D(aX?bY)?aDX?bDY?(a?b)?
2222 Cov(Z1,Z2)?Cov(aX?bY,aX?bY)
2 ?a2Cov(X,X)?abCo(vX,Y)?abCo(vY,X)?bCov(Y,Y)
?(a2?b2)?2 ?XY?Cov(Z1,Z2)DZ1?DZ2?a?ba?b2222
例4设A,B为随机事件，且P(A)?14,P(BA)?13,P(AB)?12，令
X???1,A发生,?0,A不发生; Y???1,B发生,?0,B不发生.
求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数?XY.
解:（I） 由于P(AB)?P(A)P(BA)?112，
P(B)?P(AB)P(AB)?116,
所以， P{X?1,Y?1}?P(AB)?12，
16112 P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)? P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)? P{X?0,Y?0}?P(AB)?1?P(A?B)
=1?P(A)?P(B)?P(AB)?23，
,
（或P{X?0,Y?0}?1?故(X,Y)的概率分布为
112?16?112?23），
Y
X 0 1 0 1
2316
112112
(II) X, Y的概率分布分别为
X 0 1 Y 0 1 P 则EX?14,EY?34161456116 P
316 ,
，DX?，DY=
1536, E(XY)=
12故 Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY? ?XY?Cov(X,Y)DX?DY?24，从而
.
X3Y21515例5: 已知(X,Y)~N(1,0,9,16,?0.5)，Z?解: X~N(1,9)，Y~N(0,16) EZ?E??X?3?X?3??，求EZ,DZ，?XZ。
Y?11111??EX?EY??1??0? 2?32323Y?1111??DX?DY?2??Cov(X,Y) 2?9432DXDY??0.5?3?4??6
DZ?D?? DX?9,DY?16,Cov(X,Y)??XY DZ?3
Cov(X,Z)?Cov(X, ?1312X3?Y2)
13Cov(X,X)?Cov(X,Y)??9?12?(?6)?0
?XZ=0
例6: 设随机变量U~B(2,)，令
21 X????1?1U?0U?0 Y????1?1U?2U?2
<1>求D(X?Y),D(X?Y)
<2> Cov(X,Y) ?0解: U~?1??41122?1? ?4?14p{X??1}?p{U?0}?P{U?0}? (p?12)
1?1? ?4???1 p{X?1}?1?? , X~?1?44?4131???13?, 同理，Y~?3??4??42 EX?12,EY??12,E(X)?1,E(Y)?1,DX?1,DY?1
2 XY的取值为-1，1
p{XY??1}?p{X??1,Y??1}?p{X?1,Y?1} =p{U?0,U?2}?p{U?0,U?2}
=p{U?0}?p{U?2}?p{U?0}?p{U?2}? p{XY?1}?1?12
12?12
??1 XY~?1??2 E(XY)?0
1?1? ?2? Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?14
D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?2 D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?1
教学后记
概率论与数理统计期末复习题
1. 如果随机事件A﹑B满足 AB??, A?B?S , 则称A﹑B为对立事件. 2. 如果随机事件A﹑B满足 AB?? , 则称A﹑B为互不相容.
3.设件A﹑B﹑C为3个随机事件, 试用A﹑B﹑C事件” A发生, B与C不发生”可表示为 ABC .
4.设事件A?B,且P(A)?0.8, P(B)?0.4, 则概率P(A?B)? 0.4 . 5. 设事件A与B互不相容, 且P(A)?a, 则概率P(AB)? 1?a . 6. 设事件A与B互不相容, 且P(A)?0.5,P(B)?0.3, 则概率P(A?B)?. 1 7. 设A﹑B为2个随机事件, 则AB?AB?.
A. ? B. A C. S DA?B [ B ] 8. 设A﹑B为2个随机事件, 则下列不正确的是. [ D ]
A. (AB)(AB)?? B. A?B?(AB)?B C. 若A?B,则AB?A D. AB?A?B 9. 设事件A﹑B满足B?A?B, 则下列中正确的是.
A. A?? B. AB?? C. AB?? D B?A [ B ] 10. 设A﹑B为2个随机事件, 满足B?A,则下列中正确的是 . A. A与B必同时发生 B. A发生B必发生
C. A不发生B必不发生 D. B不发生A必发生 [ C ] 11.设在15只同类型的零件中有2只是次品, 现从中任取3只, 则所取的零件中有2只次品的概率为 135 .
12.从52张扑克牌(无王牌)中任取13张, 则其中有5张黑桃, 3张红心, 3张方块, 2张草花的概率为 C13C13C13C13C52135332 .
13.一袋中装有3个红球, 2个白球, 现从中任取2个球, 则在这2个球中, 恰好有1个红球1个白球的概率是 C3C2C2511 .
314.抛掷3枚均匀的硬币, 恰好有2枚正面向上的概率为 .
815.袋中有10只红球, 7只白球, 从中陆续取3只, 取后不放回, 则这3只球依次为红白红的