E(X?Y)?E(X)?E(Y)
则对任意的实数k1、k2，E(k1X?k2Y)存在且 E(k1X?k2Y)?k1EX?k2EY
E(X?c)?EX?c
(3)若X,Y是相互独立的且EX,EY存在，则E(XY)存在且
E(XY)?EXEY
4．常见几种分布的数学期望 （1）两点分布的期望E(XE?)?p （2）二项分布的期望
nnknkn所以E(E?)?X?k?pk?0??k?Ck?0pqkn?k?np?Cn?1pk?1k?1k?1q(n?1)?(k?1)?np(p?q)n?1?np
（3）普哇松分布的数学期望E(X)?? E?(4) 均匀分布的数学期望 E(X)?(5) 指数分布的数学期望
设?的密度函数是参数为?的指数分布，求解E(XE)? ?E(EX??e??xa?b2.
1?1.
??0x?e??xdx???xde0???x???0dx??(6)正态分布的数学期望E(X)??
?120.23??,求E(X?0.7?例1:已知X~??0.1?2?1)
例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?3x,0?x?1,0?y?x, f(x,y)??
0,其他.?(1)求E(X)
????x2???3xdy,0?x?1,?3x0?x?1,f(x,y)dy??0??
其他.其他.??0,?0,解法1, fX(x)?? E(X)??????xfX(x)dx??3xdx?0????1334
1x2解法2, E(X)?(2) 求E(XY)
E(XY)???????xf(x,y)dxdy??[?3xdy]dx?0034
????10??????42xyf(x,y)dxdy??[?3xydy]dx
001x =?32xdx?310
二、方差
1.方差的定义
定义：设X是一个离散型随机变量，数学期望E(X)存在，如果E(X?EX)2存在，则称E(X?EX)2为随机变量X的方差，并记作DX.
方差的平方根DX称为标准差或根方差，在实际问题中标准差用得很广泛。 常用的计算方差的公式 DX?E(X2)?(EX)2 2．方差的性质
（1）若C是常数，则Dc?0；
（2）若C是常数，则D(cX)?cD(X)； (3) D(X?c)?D(X)
（4）若X,Y相互独立且DX,DY存在，则D(X?Y)存在且
2 D(X?Y)?DX?DY
性质（4）可以推广到n维随机变量的情形,并且 D(X?Y)?DX?DY?2covX(,Y)
D(aX?bY)?aDX?bDY?2abcov(X,Y) 3.常见分布的方差
(1)两点分布的方差
?0 X~??q?1?2222? EX?p,E(X)?p，DX?E(X)?(EX)?p?p?pq ?p?22(2) 普哇松分布的方差 DX?E(X2)?(EX)2?(?2??)??2?? (3) 均匀分布的方差 DXD???112(a?b)
2(4) 指数分布的方差 EXE????0x?e??xdx???xde0???x???0e??xdx?1?2
22 E(EX?)??0?x?e2??xdx?2?2 DXD??1
?(5)二项分布的方差
n DXD???i?1D?i?np q(6)正态分布的方差
设X服从N(a,?2)分布，求DX??2
??100.22例1:已知X~??0.1?221??,求D(X2) ?0.7?2E(X)?(?1)?0.1?0?0.2?1?0.7?0.8 E(X)?(?1)?0.1?0?0.2?1?0.7?0.8 D(X)?E(X)?(EX2424444)?0.8?0.8?0.16
22例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?3x,0?x?1,0?y?x, f(x,y)??
0,其他.?求D(X) E(X)?E(X)?2??????????2xfX(x)dx??3xdx?0141334
35xfX(x)dx??3xdx?022
DX?E(X)?(EX)?35?916?380
三、协方差与相关系数
1.随机变量的协方差
定义 若(X,Y)是一个二维随机变量，称E(X?EX)(Y?EY)为X与Y的协方差，
并记作Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)?E(X?EX)(Y?EY) 公式： Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY 由协方差的定义即知它具有下述性质： (1) Cov(X,c)?0
(2) 对称性：Cov(X,Y)?Cov(Y,X) (3)线性性：
Cov(aX,bY)?abCov(X,Y) ；
Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)；
mnijCov(a1X1???amXm,b1Y1???bnYn)???abi?1j?1Cov(Xi,Yj)
(4) D(X?Y)?DX?DY??2Cov(X,Y)
D(aX?bY)?a2DX?b2DY??2abCo(vX,Y) (5)若X,Y独立，则Cov(X,Y)?0 2.二维随机变量的相关系数
定义，若(X,Y)是一个二维随机变量，则称
Cov(X,Y)DXDY?XY?
为随机变量X与Y的相关系数 相关系数的性质
（1）|?XY|?1；
（2）|?XY|?1，当且仅当存在常数a,b，使得p{Y?aX?b}?1；
说明：(1)??0时，称X与Y不相关，??1时，称X与Y正相关，???1时，称X与Y负相关
(2)若X,Y独立，则相关系数??0。反过来，关系数??0，X,Y不一定独立。 (3)二维正态分布中的?为X,Y的相关系数，??0当且仅当X,Y独立。 例1: 二维随机变量(X,Y)的概率分布为：
Y 0 231611 X 0 1 求：X与Y的相关系数 ρXY; 解：因为 EX?14 12112 ，EY?2162，E(XY)??316112，EX22?142，EY?5162??16，
DX?EX?(EX)，DY?EY124?(EY)，
Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?，
1151515所以X与Y的相关系数ρXY?Cov(X,Y)DX?DY??．
?2例2已知随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)???00?x?1,0?y?xother,
求? 解：EX? EY?2?x2xdy?0???0?x2ydy?0???0111?dx????dx?????10102xdx?xdx?2223
133
1216 E(X)? E(Y)? E(XY)?2?x2x2dy?dx??0????0??x2y2dy?dx??0????0??x2xydy?0???011???1012xdx?23xdx?33
010?dx???xdx?14?2914
136 Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY=?
141 DX?E(X2)?(EX)2=??
2918 DY?E(Y)?(EY)=
2216?19?118