教 案
授课时间 授课方式 授课单元 要求与目的 4月2日至4月20日 理论课 第三章：多维随机变量及其分布 通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量函数的分布。 重点与难点 (1) 重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、课时数 6 边缘分布，条件分布、独立性 (2) 难点是二维随机变量函数的分布 主要内容 一、基本概念 联合分布函数，联合分布函数的性质、边缘分布函数 二、离散型二维随机变量 离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性 三、连续型二维随机变量 连续型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性 四、二维随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布 教学方法 参考资料 讲授式 讲练结合 《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率论与数理统计》吴传生编，高等教育出版社 思考题
P58-4 p68-8（1） p75-11 第三讲：多维随机变量及其分布
一、基本概念
1联合分布函数
设（X,Y）是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，
F(x,y)?P(X?x,Y?Y)
二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质
（1）单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；
（2）0?F(x,y)?1,F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； (3) F(x,y)关于x(y)右连续；
(4)P{x1?X?x2,y1?Y?y2}?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x2,y2) 3．边缘分布函数
设（X,Y）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x,y)，则 FX(x)?P{X?x}?P{X?x,Y???}?F(x,??)FY(y)?P{Y?y}?P{X???,Y?y}?F(??,y)
，
二维随机变量（X,Y）的边缘分布函数。
二、离散型二维随机变量
1. 离散型二维随机变量的分布律
设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(ai,bj),i,j?1,2,?,令
pip?P??a??b),i,?j pij?j{X?ai,Yi?bj}j1?,2 ,称(pij;i,j?1,2,?)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布. 二维联合分布的三个性质：
(1)pij?0,i,j?1,2,?;??(2)?i?1?j?1pij?1?2. 离散型二维随机变量的分布函数 (3)P(??ai)??pij?pi?j?1 F(x,y)???pij
X?xiY?yj3. 离散型二维随机变量的边缘分布
设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布p{X?xi,Y?yj}=pij(i,j?1,2,?)中对固定的i关于j求和而得到
? p{X?xi}?p{X?xi,Y???}??j?1?pij?pi.
p{Y?yj}?p{X???,Y?yj}??i?1pij?p.j
4. 离散型二维随机变量的条件
对于固定的j若，p{Y?yj}?p.j?0，称
p{X?xi|Y?yj}?p{X?xi,Y?yj}p{Y?yj}?pijp.j
为在Y?yj的条件下，随机变量X?xi的条件概率.
p{X?xi,Y?yj}p{X?xi}pijpi. 同样定义p{Y?yj|X?xi}?变量Y?yj的条件概率. 条件概率符合概率的性质
p{X?xi|Y?yj}?0
??为在X?xi的条件下，随机
?i?1p{X?xi|Y?yj}?1
5. 离散型二维随机变量的独立性
设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：
P{X?xi,Y?yj}?pij，p{X?xi}?pi. p{Y?yj}?p.j
定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有 pij?pi. p.j
例1 从1，2，3，4种任取一个记为X，在从1X种任取一个记为Y，
(1)求二维随机变量（X,Y）的联合分布律
X\\Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12/ 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 (2)求二维随机变量（X,Y）的边缘分布律。
?1X~??1/4?21/431/44??1? Y~??25/481/4???213/4837/48?? 3/48??4(3)求Y?1的条件下，X的概率分布
p{X?1|Y?1}?p11/p.1?p{X?2|Y?1}?p12/p.1?p{X?3|Y?1}?p13/p.1?p{X?4|Y?1}?p13/p.1?1/425/481/825/481/1225/481/1625/48????12256
25 425 325
(4) 随机变量X,Y独立吗？
p11?(1/4)?(1/4)(25/48)?p1. p.1
X,Y不独立。
?01??0??Y~，?0.40.5???1??，且p{XY?0}?0.4，求随机变量（X,Y）0.6??例2 X~??0.5?的联合分布律及p{X?Y}。
X Y 0 1 p.j 0 1 0.3 0.2 0.1 0.4 0.4 0.6 pi. 0.5 0.5 例3 已知X,Y独立，完成下表：
X Y 1 2 1 2 3 18pi. 18 16 p.j 例4 已知（X,Y）的分布律为：
X Y 1 2 0 1 0.4 a b 0.1 已知{X?0}与{X?Y?1}独立，求a,b
三、连续型二维随机变量
1．定义与性质
如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有 F(x,y)?????xy??pu(v,dudv)
成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.
如果二维随机变量(?,?)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(?,?)是二维的连续型随机变量.
密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质： (1)p(x,y)?0;(2)????????p(x,y)dxdy?F(??,??)?1
反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：
（3）若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数，则有