?F(x,y) ?p(x,y)?x?y2（4）若G是平面上的某一区域，则 ?)?G?? P?(?,??Gp(x,y)dx dy2．连续型随机变量的边缘分布
若（X,Y）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F(x,y)求得， 概率密度
fX(x)??????f(x,y)dy, fY(y)??????f(x,y)dx
3. 连续型随机变量条件分布
若（X,Y）概率密度为f(x,y)，边缘概率密度fY(y)?0，称
fX|Y(x|y)?f(x,y)fY(y)
为在Y?y的条件下，随机变量X的条件概率密度. 类似地，称fY|X(y|x)?f(x,y)fX(x) fX(x)?0
为在X?x的条件下，随机变量Y的条件概率密度.
设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)?P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y}?FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的
4.随机变量的独立性
设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)?P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y}?FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的
定理2：如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的
Y密度函数分别为fX(x),fY(y)，这时容易验证X与Y独立的充要条件为：
f(x,y)?fX(x)fY(y)几乎处处成立。
说明：(1)F(x,y)?FX(x)FY(y)或f(x,y)?fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。 (2)X与Y独立,则F(x,y)?FX(x)FY(y)点点成立f(x,y)?fX(x)fY(y)不一定点点成立。
(3)在个别点f(x,y)?fX(x)fY(y)，则X与Y可能还独立；F(x,y)?FX(x)FY(y)，则X与Y一定不独立。
例1：已知随机变两（X,Y）的概率密度为
(x,y)???Ae?2x?yfx?0,y?0?0其他
(1)求A ??????????f(x,y)dxdy?1
?????0?0Ae?2x?ydxdy?12A?1,A?2
(2)求分布函数
当x?0,y?0时，
F(x,y)??xy?2x?y???y??f(u,v)dudv?2?x0?0edudv
?[1?e?2x][1?e?y] 其他，F(x,y)?0
F(x,y)????(1?e?2x)(1?e?y)x?0,y?0
??0其他（3）求p{X?Y} p{X?Y}????0?x02e?2x?ydxdy?13
(4) 求边缘概率密度fX(x),fY(y)
在一点
????2x?y??2edyx?0fX(x)??f(x,y)dy??0????other?0?????2x??2ex?0 ???0other????y?2x?y???ey?02edxy?0? fY(y)??f(x,y)dx??0??????other?0other?0(5) 求条件概率密度fX|Y(x|y)
当y?0时，fX|Y(x|y)不存在； 当y?0时，
?2x??2efX|Y(x|y)???fY(y)??0f(x,y)x?0other
(6) 求p{X?2|X?2}
p{X?2|Y?2}?p{X?2,Y?2}P{Y?2}?F(2,2)FY(2)?1?e?4
(7)X,Y独立吗？f(x,y)?fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。
例2：已知随机变量（X,Y）时区域D上的分布，D由x.y?0,x?y?1围成，问X,Y是否独立？
?2f(x,y)?解：??0（x，y)?D其他1212
F(1,1)?22?0?0??2dxdy?12
0?x?11?x??2?2x??2dy0?x?1 fX(x)??f(x,y)dy??0?????other?0?0other
FX(1)?2???212fX(x)dx??[2?2x]dx?01234
同理：FY(1)?22342
F(1,1)?FX(1)FY(1)
2 所以X,Y不否独立。
例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从[7,8]上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过
14小时的概率。
fX(x)??X,Y独立
?1?07?x?8other fY(y)???1?07?x?8other
?1f(x,y)?fX(x)fY(y)???07?x?8,7?x?8other
p{X?Y?14}???1dxdy?D34
例4．若二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?2??1?12?12(1??2[)(x??1)21??2e?12?2?(x??1)(y??2)?1??(y??2)22?22]
（ ???x???, ???y??? ）
2则称(X,Y)服从二维正态分布，记作 (X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?)。
说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?22)； （2）二维随机变量(X,Y)的边缘分布都是是一维正态分布，则(X,Y)不一定服从二维正态分布；
（3）??cov(X,Y)?1?22是相关系数，X,Y独立的充分必要条件是??0；
（4）X~N(?1,?1)，Y~N(?2,?2)，且X,Y独立，则
aX?bY~N(a?1?b?2,a?1?b?2)
22222 四、二维随机变量函数的分布
1.离散型随机变量函数的分布
例1．已知二维随机变量(X,Y)的分布为
X Y 1 2 1 1/4 1/3 2 1/6 1/4 求：(1)Z?X?Y (2) Z?max{X，Y} (3) Z?min{X，Y} 解：(1)Z?X?Y
p{Z?2}?P{X?1,Y?1}?1/4
p{Z?3}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}?1/2 p{Z?4}?P{X?2,Y?2}?1/4
?2 Z~??1/4?31/24?? 1/4???12?? 3/4??2?? 1/4??(2) Z?max{X，Y} Z~??1/4??1(3) Z?min{X，Y} Z~??3/4?2.连续型随机变量函数的分布
已知（X,Y）联合概率密度f(x,y)，求Z?g(X,Y)的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下：
(1)划出f(x,y)?0的区域D； (2)作等值线g(x,y)?z
(3)平行移动等值线，寻找等值线与D相交的关键点a,b。 (4)当z?a时，FZ(z)=0, 当z?b时，FZ(z)=1, 当a?z?b时 FZ(z)?(5) f(z)?F??D1'Zf(x,y)dxdy
(z)
例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?1,0?x?1,0?y?2x,f(x,y)??其他.?0,
f(z).求： Z?2X?Y的概率密度Z
解：令FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}， 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；
当0?z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}