数学竞赛中几个重要定理
1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F
三点共线，则
2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且
满足
【例1】已知△ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线AB边于X，交AC
边于Y，且XC与GB交于点Q，YB与GC交于点P. 证明：△MPQ∽△ABC
1
BDCEAF=1 ??DCEAFBBDCEAF=1，则D、E、F三点共线. ??DCEAFBAXQBGPjYCM
【例2】 以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，
E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC
【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.
FNOCMPBAADEMBFHGC
QDE
2
【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分别交AB，CD
于点E，F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP
PEA0B
DMFC【练习2】 在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD上，AE的延长线交BC于F. 若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDC
FC
3
DEABAMBNCP塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则???1
MBNCPA
AMBNCP塞瓦定理的逆定理： 设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足???1，
MBNCPA则AN、BP、CM相交于一点.
【例1】BE是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F， 过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：△LMN为正三角形.
FMEA
NGLBDC
4
【例2】在△ABC中，D是BC上的点
BD1=，E是AC中点.AD与BE交于O，CO交AB于F DC3A求四边形BDOF的面积与△ABC的面积的比
DEFOC【练习1】设P为△ABC内一点，使∠BPA=∠CPA，G是线段AP上的一点，直线BG，CG分别交边AC，AB于E，F.求证：∠BPF=∠CPE
FAGE
BPC【练习2】 在△ABC中，∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分∠BAC，过点D作垂线DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，CP于BQ相交于K. 求证：AK⊥BC
BCDPKQA 5