托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BD
【例1】 已知在△ABC中，AB>AC，∠A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：2AF=ABAC
CF-
HEA
B【例2】经过∠XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P，Q.
11求证：+为定值
OPOQ
OYQAPX 6
【例3】 解方程
x2?4+
x2?1=
7x
【练习1】 设AF为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B，C分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC，∠BAF，∠CAF的平分线交⊙O1，⊙O2于点D，E. 求证：DE⊥AF
【练习2】⊙O为正△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，在弧BC上任取一点P（与B，C
BDO1FECAO2不重合）.设E，F分别为△PAB，△PAC的内心.证明：PD=∣PE-PF∣
BPEFCAD西姆松定理：点P是△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D、E、F为
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垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线.
【例1】过正△ABC外接圆的弧AC上点P作PD⊥直线AB于D,作PE⊥AC于E,作PF⊥BC于F.
求证：
BFC111+= PFPDPEDAPE
【练习1】设P为△ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC，AC所在的直线的对称点分别为P1，
P2.求证：直线P1P2经过△ABC的垂心.
BPP2AHC
P1三角形的五心
内心
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【例1】设点M是△ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：AE等于内切圆半径r
EA
BMIHC【例2】在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线AD交△ABC的外接圆于K.O，I分别
为△ABC的外心，内心.求证：OI⊥AK
【练习】 在△ABC中，∠BAC=300，∠ABC=700，M为形内一点，∠MAB=∠MCA=200
求∠MBA的度数.
BKIOCACMAB外心
【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，
MA 9
BONC∠ACB=6∠OMN.求∠OMN
【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.
【练习】1、⊙O1与⊙O2相交于P，Q，⊙O1的弦PA与⊙O2相切，⊙O2的弦PB与⊙O1相切.
设△PAB的外心为O，求证：OQ⊥PQ
O1
10
BFEOCDAPO2OAQB