第四章 Laplace方程的格林函数法
在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 Laplace方程边值问题的提法
在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace方程
?2u?2u?2u?u??u?2?2?2?0
?x?y?z2作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。
（1）第一边值问题 在空间(x,y,z)中某一个区域?的边界?上给定了连续函数f，要求这样一个函数u(x,y,z)，它在闭域???（或记作?）上连续，在?内有二阶连续偏导数且满足Laplace方程，在?上与已知函数f相重合，即
u?（4.1） ?f
第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
1
Laplace方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域?内找一个调和函数，它在边界?上的值为已知。
（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面?上给出连续函数f，要求寻找这样一个函数u(x,y,z)，它在?内部的区域?中是调和函数，在
???上连续，在?上任一点处法向导数
?u存在，并且等于已知函数f?n在该点的值：
?u?n??f （4.2）
这里n是?的外法向矢量。
第二边值问题也称纽曼（Neumann）问题。
以上两个问题都是在边界?上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace方程的解，这样的问题称为内问题。
在应用中我们还会遇到Dirichlet问题和Neumann问题的另一种提法。例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域?的外部求调和函数u，使满足边界条件u??f，这里?是?的边界，f表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题称为Laplace方程的外问题。
由于Laplace方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件：
limu(x,y,z)?0(r?x2?y2?z2) （4.3）
r??（3）狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面?上给定连续函数
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f，要找出这样一个函数u(x,y,z)，它在?的外部区域??内调和，在????上连续，当点(x,y,z)趋于无穷远时，u(x,y,z)满足条件（4.3），
并且它在边界?上取所给的函数值
u?（4.4） ?f
（4）纽曼外问题 在光滑的闭曲面?上给定连续函数f，要找出这样一个函数u(x,y,z)，它闭曲面?的外部区域??内调和，在????上连续，在无穷远处满足条件（4.3），而且它在?上任一点的法向导数存在，满足
?u?n???u?n?f （4.5）
这里n?是边界曲面?内内法向矢量。
重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。 §4.2 格林公式
为了建立Laplace方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则是曲面积分中高斯公式的直接推论。
设?是以足够光滑的曲面?为边界的有界区域，P(x,y,z)，
Q(x,y,z)，R(x,y,z)是在???上连续，在?内具有一阶连续偏导数的任
一函数，则成立如下的高斯公式
????(?P?Q?R??)dV???[Pcos(n,x)?Qcos(n,y)?Rcos(n,z)]dS （4.6） ??x?y?z其中dV是体积元素，n是?的外法向矢量，dS是?上的面积元素。
下面来推导公式（4.6）的两个推论。
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在???上具有一阶连续偏导数，在?内
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具有连续的所有二阶偏导数，在（4.6）中令
P?u?v?v?v,Q?u,R?u ?x?y?z则有
???或
?(u?v)dV????(??u?v?u?v?u?v?v??)dV???udS ??n?x?x?y?y?z?z????(u?v)dV???u??vdS?????u??vdV （4.7） ??n（4.7）式称为第一格林公式。
在公式（4.7）中交换u,v位置，则得
???????(v?u)dV???v??udS?????v??udV （4.8） ??n将（4.7）与（4.8）式相减得到
?(u?v?v?u)dV???(u??v?u?v)dS （4.9） ?n?n（4.9）式称为第二格林公式。
利用格林公式可以推出调和函数的一些基本性质。 （ⅰ）调和函数的基本表达式
所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其区域边界?上的法向导数沿?的积分来表达调和函数在?内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值。为此，构造一个函数
v?1r11 （4.10） ?222r(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)函数除点M0外处处满足Laplace方程，它在研究三维Laplac方程中起着重要的作用，通常称它为三维Laplace方程的基本解。由于v?在
?内有奇异点M0，我们作一个以M0为中心，以充分小的正数?
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1r为半
径的球面??，在?内挖去??所包围的球域K?得到区域??K?（图4-1），在??K?内直至边界上v?是任意次连续可微的，在公式（4.9）中取
1u为调和函数，并假定它在???上有一阶连续偏导数，而取v?，并
r1r以??K?代替该公式中的?，得
1?()11r?1?u]dS （4.11） (u???u)dV?[u?????K?rr???????nr?n1因为在??K?内?u?0，??0。而在球面??上
r11?()?()r??r?1?1 ?n?rr2?因此
1?()rdS?1u?????n?2????udS?1?2u?4??2?4?u
其中u是函数u在球面??上的平均值。
同理可得
??此处(??1?u1?u?udS???dS?4??() r?n????n?n?u?u)是在球面??上的平均值。将此二式代入（4.11）可得
?n?n1?()r?1?u]dS?4?u?4??(?u)?0 [u????nr?n?nu?u(M0)（因为u(x,y,z)现在令??0，由于?lim是连续函数），?????lim4??(?u?u)?0（因为u(x,y,z)是一阶连续连续可微的，故有界），则
?n?n得
u(M0)??14????[u(M)?11?u(M)（4.12） ()?]dS
?nrMM0rMM0?n 5