此处为明确起见，我们将r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2记成了rMM。
0 （4.12）说明，对于在???上有连续一阶偏导数的调和函数u，它在区域?内任一点M0的值，可通过积分表达式（4.12）用这个函数在区域边界?上的值及其在?上的法向导数来表示。
（ⅱ）Neumann问题有解的必要条件
设u是在以?为边界的区域?内的调和函数，在???上有一阶连续偏导数，则在公式（4.9）中取u为所给的调和函数，取v?1，就得到
?u ????ndS?0 （4.13）
由（4.13）可得Neumann问题（足
?u?n??f）有解的必要条件为函数f满
???fdS?0 （4.14）
事实上，这个条件也是Neumann内问题有解的充分条件，证明见其他证明材料。
（ⅲ）平均值公式
设函数u(M)在某区域?内是调和的，M0是?内任一点，Ka表示以M0为中心，以a为半径且完全落在?内部的球面，则成立下列平均值公式
u(M0)?14?a2??KaudS （4.15）
要证明这个公式，只要将公式（4.12）应用域球面Ka，并注意在
11?1?11Ka上?，()?()??2，以及
ra?nr?rra1?u1?udS?dS?0 ??Kar?n??Kaa?n
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即可。
（ⅳ）Laplace方程的解惟一性问题
现在利用格林公式讨论Laplace方程解的惟一性问题，将证明如下结论：Dirichlet问题在C1(?)?C2(?)内的解是惟一确定的；Neumann问题的解除了相差一个常数外也是惟一确定的。
以u1,u2表示定解问题的两个解，则它们的差v?u1?u2必是原问题满足零边界条件的解。对于狄氏问题，v满足
???v?0,在?内 （4.16） ???v??0对于Neumann问题，v满足
??v?0,在?内? （4.17） ??v??0???n下面来说明满足条件（4.16）的函数v?C1(?)，则在?内恒为零；满足条件（4.17）的函数?内为一常数。
事实上，在公式（4.8）中取u?v?u1?u2，则得
0???v??vdS????(?v)2dV ??n由条件（4.16）或（4.17）得
???故在?内必有
?(?v)2dV?0
gradv??v?0
即
?v?v?v???0，或v?C。对于狄氏问题，由v?x?y?z?得C?0，故v?0。 ?0，
需要注意得氏，这里我们仅证明了狄氏问题在C1(?)?C2(?)内的
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解是惟一的，其所以要假定u?C1(?)，只是为了应用格林公式（4.9）。其实这个要求是多余的，利用调和函数的极值原理，可以证明狄氏问题在C1(?)?C2(?)内的解是惟一的。关于这一点，见其他参考材料。 §4.3 格林函数
公式（4.12）说明了一个调和函数可以用这个函数在边界上的值及其在边界上的法向导数来确定它在区域?内值。但这个公式不能直接提供狄氏或Neumann问题的解，因为公式公式中既包含u?又包含了
?u?n?。对于狄氏问题而言，u?是已知的，但
?u?n?不知道，并且由
?u?n?解的惟一性可知，当给定了u?以后就不能再任意给定想从（4.12）得到狄氏问题的解，就必须消去林函数的概念。
?u?n?。所以要
，这就需要引进格
在公式（4.9）中取u,v均为?内的调和函数，且在?上有连续的一阶偏导数，则得
0???(v??u?v?u)dS （4.18） ?n?n将（4.12）与（4.18）相减得
u(M0)???{u[??v1?11?u ?()]?(?v)}dS （4.19）
?n4??nrMM04?rMM0?n如果能选取调和函数v，使满足
v?u?n??14?rMM0 （4.20）
?则（4.19）中的项就消失了，于是有
? 8
u(M0)????u??1 (?v)dS （4.21）
?n4?rMM0令
G(M,M0)?1 ?v （4.22）
4?rMM0则（4.21）可表为
u(M0)????u??GdS ?nG(M,M0)被称为Laplace方程的格林函数。如果格林函数G(M,M0)表
达式中的调和函数一经求得，并且它在闭区域?上存在连续的一阶偏导数，则狄氏问题
???u?0,在?内 ?u?f(M)???的解若存在（且在?上是一次连续可微的），这个解必然能表示为
u(M0)????f(M)??GdS （4.23） ?n对于泊松方程的狄氏问题
???u?F,在?内 ???u??f而言，若存在?上一次连续可微的解，这个解必能表示为
u(M0)????f(M)??GdS????GFdV. ??n这样一来，对任意函数f求解Laplace方程或Poisson方程的狄氏问题就转化为求此区域内的格林函数。从（4.22）可知，确定格林函数又必须解一个特殊的狄氏问题
??v?0,在?内? （4.24） 1??v??4?rMM0??
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虽然对于一般的区域，求解问题（4.24）也不是一件容易的事，但公式（4.23）还是有重要意义的，因为：（1）格林函数仅依赖于区域，而与原定解问题中所给的边界条件无关，只要求得了某个区域的格林函数，就能一劳永逸地解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题；（2）对于某些特殊的区域，如球，半空间等，格林函数可以用初等方法求得。
格林函数在静电学中有明显的物理意义。设在闭曲面?内一点M0处放一个单位正电荷，则它在?面内侧感应有一定分布密度的负电荷，而在?外侧分布有相应的正电荷。如果曲面?是导体并接地，则外侧正电荷就消失，且电位为零。这是?内任意一点M的电位是由二种电荷产生的，一是点M0处单位正电荷，由它产生的电位为（在有理化单位制中，这个电位应为
14?rMM01，此处为了方便，取介
4??rMM0质的介电系数??1），二是在?内感应的负电荷，由它产生的电位为v，
v是定解问题（4.24）的解。因此，格林函数就是导电曲面?内的电
位。
§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
从（4.23）可知，对于一个曲面?所围成的区域?，只要求出了它的格林函数，则在这个区域内狄氏问题的解就能以积分形式表示出来。对于某些特殊的区域，它的格林函数可以用电象法求得。所谓电象法就在区域?外找出M0关于边界?的象点M1，然后在这个象点放
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