置适当的负电荷，由它产生的负电位与M0点单位正电荷所产生的正电位在曲面?上互相抵消，由于M0在?内部，它关于?的象点M1则在
?的外部，所以，放在M1处的点电荷所形成的电场的电位在?内部是
调和函数v，而且根据要求，有v??14?rMM0，故在M0与M1处两个点
?电荷所形成电场在?内的电位就是所要求的格林函数。下面以半空间、球域为例说明电象法的应用。
4.4.1 半空间的格林函数
求解Laplace方程在半空间z?0内的狄氏问题，就是求函数
u(x,y,z)使适合
??2u?2u?2u?2?2?2?0,z?0?y?z （4.25） ??x?u?z?0?f(x,y),???x,y???首先找格林函数G(M,M0)，在半空间z?0的M0(x0,y0,z0)点置单位正电荷，并找出M0关于z?0的平面对称点M1(x0,y0,?z0)（图4.2），在M1点置单位负电荷，则它与M0点的单位正电荷所产生的电位在平面
z?0上互相抵消。由于
1在上半空间z?0内为调和函数，在闭域4?rMM1z?0上具有连续的一阶偏导数，因此
G(M,M0)?111 [?] （4.26）
4?rMM0rMM1就是半空间z?0的格林函数。
为了求得（4.25）的解，计算
?G，由于在平面z?0上的外法
?nz?0 11
线方向是Oz轴的负向，所以有
?G?G???nz?0?zz?0?z?z01{4?[(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2]32z?z0?}22232z?0[(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)]??z012?[(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2]32 （4.27）
将（4.27）代入（4.23）中，得到问题（4.25）的解为
u(x0,y0,z0)?12?????? （4.28） z0f(x,y)dxdy???[(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2]32??4.4.2 球域的格林函数
设有一球心在原点，半径为R的球面?，在球内任取一点
M0 (rOM0=?0)，连OM0并延长至M1使rOM0?rOM1?R2，点M1称为M0关于球
面?的反演点（图4.3）。以?1表示rOM，则?0?1?R2。
1在M0放置单位正电荷，在M1放置q单位的负电荷，我们要适当选择q的值，使得这两个电荷所产生的电位在球面?上相互抵消，即
1q， ?4?rM0P4?rM1P或
q?rM1PrM0P，
其中P使球面?上任一点。由于?OM1P与?OM0P在点O它们有公共角，且夹这角的两边成比例
?0R?R?1，因此这两个三角形是相似的，从而有
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rM1PrM0P?R?0，
故
q?RR?0。
即只要在点M1放置放置
v??0单位的负电荷，由它所形成电场的电位
R不仅在?所围成的球域?的内部是调和函数，在???上一
4??0rM1M次连续可微，且在?上满足
1R ?4?rM0M?4??0rM1M?即
11R [?]?0 （4.29）
4?rM0P?0rM1P所以，球域的格林函数为
G(M,M0)?11R (?) （4.30）
4?rM0M?0rM1M现在利用格林函数求球域内的狄氏问题
???u?0,在?内部, ?u?f???的解。为此，要算出
?G，注意到 ?n?1rMM01rMM1?1????2??0cos?1202
?????2??1cos?202其中??rOM，?是OM0与OM的夹角（当然也是OM1与OM的夹角），
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于是
G(M,M0)?11[24??0??2?2?0?cos?R
] (?0?1?R2)??2?02?2R2??0cos??R4在球面?上，
?G?G??n????R?????0cos?1{224?(???0?2?0?cos?)322(?0??R2?0cos?)R?22} 2432??R(?0??2R??0cos??R)2R2??0??24?R(R2??0?2R?0cos?)321代入（4.23）可得球内狄氏问题的解为
2R2??0 u(M0)?fdS （4.31）24?R???(R2??0?2R?0cos?)321或写成球坐标的形式
Ru(?0,?0,?0)?4???02??02R2??0（4.32） f(R,?,?)2sin?d?d?232(R??0?2R?0cos?)其中(?0,?0,?0)为点M0的坐标，(R,?,?)是球面?上点P的坐标，cos?是
OM0与OP夹角的余弦。因为向量OM0，OP的方向余弦分别为
(sin?0cos?0,sin?0sin?0cos?0)与(sin?cos?,sin?sin?,cos?)，
所以
cos??cos?cos?0?sin?sin?0(sin?sin?0?cos?cos?0)?cos?cos?0?sin?sin?0cos(???0).
公式（4.31）或（4.32）称为球的Poisson公式。
以上推导都是形式上的，即在假定定解问题有解的条件下得到解的表达式，至于（4.28）与（4.32）是否就是相应定解问题的解，还应加以验证。验证过程省略。
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