微分中值定理习题五
?ln(1?x) ,当x??1,x?0?1、设f(x)?? 在(?1,??)上连续, x?,当x?0,? A 求A值,并判定f?(x)在x?0处的连续性.
?xlnx ,x?0,x?1,?1?x?2、设函数f(x)?? 0 ,x?0，试证明f(x)在?0,???上连续,并求f?(1).
? ?1 ,x?1，??3、设函数f?x?具有一阶连续导数,且f?0??0,f tanxf(x)?x设函数f(x)具有二阶导数,且f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?2,试求lim. 4、2x?0xf?1?cosx??0??2,试求lim. 2x?0f(sin2x). 5、设函数f(x)具有连续二阶导数,且f(0)?f?(0),f??(0)?6 , 求lim4x?0xf(sin2x?cosx),且f(1)?0,f?(1)?2,试求lim. 6、设f(x)具有连续一阶导数x?0xtanx??(x)?cosx，x?0,?7、设f(x)?? 其中?(x)具有二阶导数,且?(0)?1 x?? a ，x?0.(1)确定a,值使f(x)在x?0处连续;
(2)讨论f?(x)在x?0处的连续性.1?1x??(1?x)x??? , 当x?0时,????e8、讨论函数f(x)??在点x?0处的连续性. ?????1??2?, 当x?0时,? e 9、设f(x)具有二阶导数,且在x?0的去心邻域内f(x)?0,已知f??(0)?4,
limx?0f(x)f(x)???0,求lim?1?. ?x?0xx??10、设f(x)在[a,b]有连续的一阶导数,x0?(a,b)且f??(x0)存在,
1x研究极限limt?0f(x0?t)?f(x0?t)?2f(x0).
t211、把n?1阶可导函数f(x)展开为带拉格朗日型余项Rn(x)的泰勒展开式
f(x)?a0?a1(x?x0)???an(x?x0)n?Rn(x)
试写出Rn(x)的表示式.
12、把n?1阶可导函数f(x)展开为带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式
f(x)?a0?a1x?a2x???anxn?Rn(x)
试写出Rn(x)的表示式.
13、设f(x)在x0的某邻域内有(n?1)阶导数,在x0处有n阶导数,
且f?(x0)?f??(x0)????f(n?1)(x0)?0
求limx?x0f(x)?f(x0). n(x?x0)1ln(1?x2)的单调性 2x2?1的单调性 15、判定函数y?x14、判定函数y?16、判定函数y?x?cosx的单调性 17、讨论函数y?x?3x?1的单调性 18、判断函数 y?3a?bab1 的单调性,并证明??1?x1?a?b1?a1?b19、设 a?1试讨论方程lnx?ax有几个实根 e?x20、在实数范围内试讨论方程xex?a(a?0)的根的情况
21、方程e?x?2是否有实根?若有,则指出所在范围 22、设函数?(x)在x0处连续,且?(x0)?0,试研究
f(x)?(x?x0)4?(x)
在x0处的极值情况.
23、研究函数f(x)?(x?x0)3e?x在x0处是否取得极值
24、设n为正整数,f(x)?(x?x0)n?(x),其中?(x)在x0处连续,且?(x0)?0,
研究f(x)在x0处是否取得极值
?x25、设f(x)对一切实数x满足为xf??(x)?3x?f?(x)??1?e , 如
2f(x)在x?c(c?0)处有,极值时,试判断f(c)是极大值还是极小值
x2x3xn?x????)e的极值(n为自然数) 26、研究函数y?(1?x?2!3!n!27、讨论函数y?x?sinx是否有极值,若有极值则应指明是极大值或是极小值 28、讨论函数y?x2?2x?1的最小值,最大值
a2b2?(a?0,b?0)在(0，1)上的最大值和最小值 29、研究函数y?x1?x30、研究函数y?2tanx?tanx在0?x?31、研究y?x?22?2时的最大值,最小值
54在x?0时的最大值,与最小值 xx32、研究函数y?x在(01.，??)内的最大值与最小值
33、要做一个圆锥形漏斗,其母线长20cm,要使其体积最大,问其高应为多少? 34、在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高 35
造一壁厚为a容积为V,上端开口的圆柱形容器,要使所用的材料最省问应如何选择尺寸.
36、
设有一块边长为a的正方形铁皮,从四个角截去同样的小方块,作成一个无盖的方盒子,问小方块的边长为多少才使盒子的容积最大
37、
欲做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72cm3其底边成1：2关系,问各边长为多少时,才使表面积最小38、
在铁道线(假设是直线)上有一点A与原料供应站B相距100km,在铁道线外有一工厂C,且CA垂直于AB(如图)且C,A相距20km已知汽车运费为m元,火车t?km的运费为n元(m?n)现准备在A,B之间选一点D,向工厂修建一条公路,使t?km原料供应站B运货到工厂所用运费最省,问D应选在何处?
39、
用汽船拖载重相等的小船若干只,在两港之间来回运货,已知每次拖4只小船,一日能来回16次,每次拖7只小船,一日可来回10次,若小船增多的只数与来回的次数成正比,问每日来回多少次,每次拖多少只小船能使运货量达到最多?
40、
由y?0,x?8,y?x2围成的曲线边三角形OAB,在曲边OB上求一点,使得过此点所作的y?x2的切线与OA,AB所围成的的三角形面积最大
41、
由三块同一宽度的板做成一个梯形的排水槽(无上盖)(如图),问侧面与底的倾角?为多大时,才使水槽的横断面积最大?
42、
要造一个无盖柱形快速澄清池,容积为1000m3? 而池底为圆锥形,圆锥母线与圆?柱底面半径成??的角度,(如图)问怎样选择尺寸,才最省材料4
43、
将半径为r的圆铁片,剪去一个扇形,问其中心角?为多大时,才能使余下部分围成的圆锥形容器的容积最大
44、
在一页书纸上排印文字占S(cm2),上,下边空白处要留acm左,右要留bcm,问以怎样地尺寸排印才最节省纸张45、
由宽为a米的河修筑一宽为b米的运河,二者成直角相交(如图),问能驶进运河的船,其最大长度是多少?
46、
在平地露天放映电影,银幕高7m,银幕底边高于某坐着的观众的视平线3(m),问此观众坐在距银幕多远处,才能使视角?最大?
47、设有半径为a的圆桌，光源的照度与光线的倾解?的正弦成正比，与光源到被照物的距离平方成反比。问光源应挂在圆桌中心上方多高处，才使桌边上的照度最大？
48、
在地面上牵引重物,设物重为W(kg),它与地面的摩擦系数为u,求用力最省的牵引角?(如图).