P(X?5?6)?P(?P(X?5?2)X?536?)33
?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544（5）
X?5P(X?5?9)?P(?3)3
?2?(3)?1?2?0.9987?1?0.9974
2X?N(?,?)，则有 一般，若
P(a?X?b)??(
5.1.4 3若
b???)??(a???)
?准则
X?N(0,1)，则有
P(X?1)?2?(1)?1?0.6826 P(X?2)?2?(2)?1?0.9545
P(X?3)?2?(3)?1?0.9973
即，X的取值几乎全部集中在
??3,3?区间内，超出这个范围的可能不到0.3%
2X?N(?,?)，有 至一般正态总体，即
P(X????)?0.6826
6
P(X???2?)?0.9545
P(X???3?)?0.9973
显然P(X???3?)的概率很小，因此可以认为X的值几乎一定落在区
间(??3?,??3?)内——统计学的“3?准则”
5.1.5 正态分布函数的一个重要性质
设变量
X?N(?21,?)，Y?N(?2,?212),X与Y相互独立,则有 X+Y?N(?221+?2,?1+?2) X-Y?N(?21-?2,?+?212)
5.1.6 求分位数
Z?
设
X?N?0,1?
P(X?Z????)Z?(x)dx???
Z?=-Z1-?
常用的几个Z分位数:
Z0.05?1.64,Z0.025?1.96
Z0.95?-1.64,Z0.975?-1.96
7
5.2 由正态分布导出的几个重要分布
三大分布：
?,t,F分布
25.2.1
?2分布
1 定义：设随机变量
X1,X2,?,Xn相互独立，且
Xi?N(0,1)(in的
?1,2,?,n)，则它们的平方和服从自由度为
x2分布。
记做，2
?Xk=12i??(n)
2x2分布的密度函数图形
1φ(x)0.5k=2k=3k=600510x15
图形特点：
（1）
xxx2分布的变量值始终为正。
2分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，
（2）
随着自由度的增大逐渐趋于对称。
2（3）
分布的期望为E(?2)?n，方差为D(?2)?2n（n为自由
8
度）。 （4）
x2分布具有可加性。
若
X与Y是相互独立的随机变量， X~x2(n1),Y~x2(n2)，则它
n1?n2的
们的和服从于自由度为
x2分布，即
X?Y~x2(n1?n2)。
3
x22x分布临界值表的使用，求得分布的分位数
x22分布临界值表中给出的是概率为
2???时，x?的取值，k是自由度。
2P(x?x?)??2f(x)dx??
x?0.2φ(x)0.1?0x2?x
2X??(10)， 例如，若随机变量
则查表可得
?20.05(10)?3.94，?20.95(10)?18.307，
5.2.2 t分布（student分布）
设随机变量
X,Y互相独立，
2X~N(0,1),Y~x(n)，则随机变量
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Xt?~t(n)——自由度为n的t分布
Yn0.4k=30k=2φ(t)0.2k=60-50t5
t分布概率密度函数图
特点：
① 关于y轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。 ② 厚尾：当
x??时，t分布的密度函数趋于0的速度要比标准正态分
布密度函数慢，所以t分布的密度函数的尾部要比尾部厚些。
N(0,1)密度的
③ 当自由度n无限增大时，t分布将趋近于标准正态分布。
所以，当n很大时，t分布可以用标准正态分布近似。记t?(n)为分布
t(n)的?分位数。
在实际使用中，当
0.4n?30,就近似有 t?(n)?Z?
φ(t)0.2?0-50t?t5
由于t分布密度曲线的对称性，可得
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