(X?Y)?(?1??2)?2?N(0,1)12m??2n
简要证明：
2X?N(?21,?1)?X?N(?11,?m)2Y?N(?22Y?N(??22,?)?2,n)
22X?Y?N(??121??2,独立，
m??n)
(X?Y)?(?1??2)?2?N(0,1)12m??2n
推论3：
设?X,X,?,X212m?是取自正态总体N(?1,?)的一个样本，?Y1,Y2,?,Yn?是取自正态总体N(?,?22)的一个样本，
X与Y相互独立，那么
16
(X?Y)?(?1??2)s11?t(m?n?2)pm?n
22s2?(m?1)s1?(n?1)s2p其中，
(m?n?2)
简要证明：
2X?N(?21,?)?X?N(?1,?m)
Y?N(?22,?2)?Y?N(?2,?n)
独立，
X?Y?N(??2?21??2,m?n)
(m?1)s212?2??(m?1)
(n?1)s22?2??2(n?1)
(m?1)s21n?1)s222可加性
?2?(?2??(m?n?2) 17
(X?Y)?(?1??2)?2?m(m?1)s12???2n?t(m?n?2)2(n?1)s2?整理得
2?2
m?n?2?(X?Y)?(?1??2)(m?1)s?(n?1)sm?n?22p21212211?mn22
?t(m?n?2)
(m?1)s?(n?1)ss?设(m?n?2)(X?Y)?(?1??2)?t(m?n?2)11即
sp?mn推论4：
2X,X,?,XN(?,???设12m是取自正态总体11)的一个样本，
?Y1,Y2,?,Yn?是取自正态总体N(?2,?22)的一个样本，
X
与
Y相互独立，那么
18
s/??F(m?1,n?1) s/?简要证明：
正态
21222122X?N(?1,?)2221?(m?1)s21?2?221??2(m?1)
Y?N(?2,?)?(m?1)s?212(n?1)s2??2(n?1)
?2122/(m?1)?F(m?1,n?1)/(n?1)2122
(n?1)s?212222即
s/??F(m?1,n?1)s/?
非正态总体的情形
定理：设
?X1,X2,?,Xn?是取自总体
X的一个样本，当
n较大
时，近似地有
X???N(0,1)①
?/n
19
X???N(0,1)②
s/n
20