WTf??,???f?t?,??,??t????t??其中：?????t???为???????12?R?t??f?t???????dt ?
（7）
??的共轭。称WTf??,??为小波变换系数。 ?由公式（7）可以看到，将函数f?t?作小波变换以后可以得到一组系数值WTf??,??，如果我们固定尺度?不变，可以得到在尺度为?时的一组关于平移因子?的函数。同样，如果我们固定?的值不变，则可得到在时间为?时的一组关于不同尺度?的函数值。 3.3 离散小波变换 3.3.1 离散小波函数
我们将式（6）中的尺度因子?和平移因子?离散化(取??2j和??2KTs)，则（6）式可表示为：
?t?2jkTs?1?t??j,k?t?=?????kT?s? ?jjjj22??22??1其中：j,k?Z。然后再进行归一化，上式就变为：
（8）
?j,k?t??2??2?jt?k?
称式（9）为离散小波变换函数[8]。 3.3.2 离散小波变换
?12
（9）
对任意函数f?t?的离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform，简称为DWT)为：
WTf?j,k??f,?j,k??f?t??j,k?t?dt
R
（10）
WTf?j,k?为离散小波变换系数。
若离散小波序列??j,k?j,k?Z构成一个框架，设其上、下界分别为“A”和“B”， 则当A=B时(此时框架为紧框架)，离散小波变换的逆变换公式为：
f?t???f,?j,k??j,k?t??j,k1WTf?j,k???j,k?t? ?Aj,k
（11）
当A=B= 1时，离散小波序列??j,k?j,k?Z为一正交基，此时小波变换的逆变换公式为：
f(t)??f,?j,k??j,k(t)??WTf(j,k)??j,k(t)
j,kj,k
（12）
12
式（10）和（11）是对一维信息的小波变换与重构，处理图像信号则需要二维小波变换。对一维小波变换进行拓展，即可得到二维离散小波变换与重建公式。 3.4 扩频技术的基本原理及在水印中的应用
数字水印技术的研究[10]大约始于1994年，早期的算法强调水印的不可见性而忽视水印的健壮性，这些算法的理论基础主要源自统计学和图像编码、处理领域。扩频技术的运用标志着水印技术的重大进步，扩频技术起源于通信系统，最早只是用于军用通信系统、制导系统等军用系统，它的理论基础来源于信息论和抗干扰理论。香农（Shannon）在其信息论中得到有名公式：
C=Wlog2(1+S/N)
（13）
式中C表示信道容量，W 是信道带宽，N是噪声功率，S是信号功率。香农公式表明了一个无误差地传输信息的能力和存在与信道中的信噪比以及用于传输信息的信道带宽之间的关系。
令 C 是希望具有的信道容量，即要求的信息，对式（13）换成以e为底的对数
C/W=1.44loge(1+S/N)
（14）
对于干扰环境的典型情况，S/N<<1，对上式用幂级数展开，略去高次项得
C/W=1.44S/N
（15）
通过上述的分析可得出一个重要结论：对于给定的信道容量C可以用不同的带宽W和信噪比S/N的组合来传输信息。如减少带宽则必须发送较大的信号功率；如有较大的传输带宽，则同样的信道容量能够用较小的信号功率（较小的 S/N）来传送，这表明宽带系统表现出较好的抗干扰性。因此，当信噪比太小，不能保证通信质量时，常用宽带系统改善通信质量，使信号在强干扰情况下，仍然可以保持可靠通信。
扩频技术[12]一种信息处理技术，它是利用欲传输数据（信息）无关的扩谱码对被传输的信号扩展频谱，使之远远超过被传输信息所必需的带宽，在接收机中采用相同的解扩和恢复数据。
由于扩谱码的随机性，扩谱信号的宽带性，扩频系统具有以下特点：
（1）扩谱信号是不可预测的伪随机的宽带信号，扩频系统具有很高的抗干扰能力，因为干扰者难以通过观察改善其干扰性能，而只能采用发射同被干扰信号不匹配的干扰技术。
（2）扩谱信号的功率相当均匀地被分布在很宽的频率范围，以至被传输信号功率密度很低，侦察接收机难以检测。因此，扩频系统具有低截获率性。
13
（3）扩频系统具有良好的码分多址通信能力，对不同的用户使用不同的码，别人无法窃听他们的通信，因而扩频系统具有高的保密性。
以上特点对数字水印技术特别有用[11]，在数字水印技术中，将原始数据的频域看作通信信道C，水印看作将通过C的信号S，各种有意、无意的干扰看作噪声N。利用扩频技术原理，将水印分布在许多数据频域系数中，加入每个频域系数的信号能量很小且不可随意检测。然而，水印检测过程知道水印的位置和内容，它能将许多微弱的信号集中起来形成具有较高信噪比的输出值，要破坏水印需要很强的噪声信号加入所有频域系数中。但是，破坏水印的同时也造成原始数据质量严重下降。
只要水印信号能量足够小，加入原始数据的水印不可能被看见或听到。而且，利用人的掩蔽效应可以增加加入水印信号的能量。因此，利用扩频原理的数字水印技术具有很高的健壮性和安全性。第一，水印的位置不明显且水印的值具有随机性；第二，频域区域的适当选择，使得有意、无意破坏水印的同时也破坏了原数据。 3.5 水印嵌入
为了使读者比较清楚的认识本文讨论的数字图像水印嵌入[10-13]的过程，其流程图如下图7所示。
水印图像 降维 原始图像 小波变换 系数选择 含水印图像 key 嵌入水印 逆小波变换 图7 水印嵌入流程图
⑴ 首先将二值的水印图像进行降维。即对二维水印图像进行行扫描，得到一维图像数据，并采用密匙key生成随机种子E，对E进行变换 W=2*（E-0.5）。
⑵ 对宿主图像(待添加水印图像)进行haar小波变换，得到低、高频系数。根据策略选择小波系数。
⑶ 嵌入水印。利用循环语句，一旦检测到二值水印的一维图像数据中为0则生成一个E，并修改所选择的小波系数：
CC(i,j)?C(i,j)?k*W(i,j)
（16）
其中，C(i,j)为选择的小波系数；CC(i,j)为添加水印信息后对应的小波系数；k为选定的调制因子，用于限制水印信息的调制深度，保证水印信息的不可见性和稳健性；W（i,j）由
14
E得到。在小波系数选择和修改过程中，记录选择和修改位置以及与调制因子的复合关系为密匙key。
⑷ 逆小波变换，生成含水印图像。将修改过的高频子带与未修改的高频、低频子带进行小波逆变换，得到嵌入数字水印的图像。
⑸ 计算嵌入水印后图像与原始图像的信噪比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)
2552，其中M为图像的均方差。 P?10*lgM3.6 水印检测
对应于水印信息的嵌入，水印的检测与提取[10-13]是以已知密钥序列(水印信息)和嵌入密匙(水印信息嵌入位置及嵌入算法)为前提的。本文数字水印嵌入算法对应的水印检测流程如图8所示。
含水印图像 小波变换 系数选择 密钥key 水印图像 水印信息检出
图8 水印检测流程图
⑴ 首先对含水印的图像进行对应的三次小波包变换，得到高频系数组成的矩阵CH2、CV2、CH3、CV3。
⑵ 重要小波系数检出与数字水印信息检测。以一维水印图像序列的所含元素个数为循环数，根据水印嵌入过程中生成的种子h2、v2、h3、v3，分别计算CH2与h2、CV2与v2、CH3与h3、CV3与v3的相关度，并计算这四个值的平均值，将所有所得平均值保存在数组correlation（kk）中。最后，将correlation的所有元素与其平均数比较，若大于则纪录kk的值，由这些kk的值便可得到一组一维二值序列。此序列便是检测出的水印图像一维序列。
⑶ 将一维序列变换为二维图像矩阵，即为检测出的水印图像。
⑷ 水印信息的评价。除了进行主观视觉效果评价外，此算法采用相关系数来进行水印检测效果的分析。其中相关系数?是描述两个函数x、y之间相互近似程度的一个量值：
15
???(Xi?1ni?X)(Yi?Y)2 （17）
?(Xi?1ni?X)?(Yi?1ni?Y)2
3.7 小结
本节介绍了LSB水印算法和基于扩频小波变换数字图像水印盲算法。
前者主要思想是如果用比特的二进制来表示灰度图像的每一个像素值，所有像素的最低位构成的位平面显现随机性，而且改变最低位不会对视觉效果产生明显影响。因此可以考虑用水印信息直接代替数字图像的最低位。
后者算法主要思想是，先将载体图像进行小波变换，将水印嵌入到高频分量。在嵌入水印图像时，本算法用到了扩频技术的思想，嵌入的并不是水印序列本身，而是根据密钥KEY生成的随机序列。在提取水印时，通过计算相关度，从而实现了不使用原载体图像就能提取水印的盲算法。
4 算法比较分析
4.1 算法回顾 1 LSB算法
如果用8比特的二进制来表示灰度图像的每一个像素值，所有像素的最低位构成的位平面显现随机性，而且改变最低位不会对视觉效果产生明显影响。因此可以考虑用水印信息直接代替数字图像的最低位。 2 基于小波变换的扩频算法
该算法先将载体图像进行小波变换，考虑到高频分量只和图像的细节纹理有关，低频部分包含图像大部分能量，为了保证水印图像的不可见性，选择将水印嵌入到高频分量。在嵌入水印图像时，本算法用到了扩频技术的思想，嵌入的并不是水印序列本身，而是根据密钥KEY生成的随机序列。在提取水印时，通过计算相关度，从而实现了不使用原载体图像就能提取水印的盲算法。 4.2 算法比较
从对基本LSB水印算法的描述来看，LSB算法的嵌入过程与提取过程比较简单，也正是它的简单决定了其自身的一些缺陷。
（1） 最低有效位相对不重要，因此在其中嵌入水印信息对噪声抵抗能力差。 （2） 由于仅仅选择了最低有效来嵌入水印，一个像素仅能嵌入1比特信息，并且嵌
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