道路改造项目中碎石运输的设计 一 摘要
本文讨论了道路改造项目中的碎石运输的设计。
首先，我们对于铺路的模式、碎石临时堆放点的数量、Ｓ１和Ｓ２采石点的供应区域进行了定量的讨论。这样之后，我们对整个运输方案已经有了一个整体的把握。在此基础上，我们提出泛函规划模型和非线性规划模型。 泛函规划模型将变分法和规划方法相结合，可以求得最优解。得出的结果为：需要修建7个码头。总费用为15.41亿。从S1采石厂取碎石101.72万立方米。从S2采石厂取碎石48.28万立方米。从S1采石厂有5条线路从水路进行运输，其中有一条需逆流运输；从S2采石厂铺设3条临时道路进行矿石运输。 在对S1、S2碎石供应方式的进一步讨论的基础上，建立了非线性规划模型。利用罚函数法进行搜索得到的结果为：需要修建7个码头。总费用为：15.82亿元。从S1采石厂取碎石99.75万立方米。从S2采石厂取碎石50.25万立方米。仍然有一条水运道路逆流而上。为了说明我们结果的最优性，我们对于总费用的区间进行了定量的估计。我们发现：当临时堆放点的数目在10个以内，无论如何修建临时道路和临时码头，，总费用必然会超过13.82亿。如果临时堆放点的数目在5个以内，必然会超过15.32亿。可见我们的结果是很接近最优解的。 我们对各种临界状态进行了讨论。我们发现：对于AB道路上的任一点，当其在点P（133，100）之右时，就该由S2采石点供应碎石。P点以左的区域应该有由S1厂进行供应。就AP段而言，存在一临界点Q（83，100），当某点在Q左时，应该由S1出发，沿河流上游运送碎石到m4点，再从m4出发，沿AB运至该点，当某点在Q右时，应该由S1出发，先沿河流上游运送碎石到m4，接着河流下游顺流而下，最后沿一条垂直于河流的临时道路运至该点。
文中所建立的两个模型，论证充分、严密，尤其是泛函规划模型可以得到理论上的最优解，得到的结果好。临界状态的确定，对于运输方案设计，很有参考价值。对于总费用下界的定量讨论，对于模型和算法的评价，很有借鉴意义。 二 问题重述
在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A , B 之间建一条长200km ，宽15m ，平均铺设厚度为0 . 5m 的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从51 , S2 两个采石点运碎石。1 立方米碎石的成本都为60 元。（S1 , S2 运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）51 , 52 与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m ，平均铺设厚度为0 . lm 。而在A , B 之间有原来的道路可以利用。假设运输1 立方米碎石Ikm 运费为20 元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1 立方米碎石Ikm 运费为6 元；逆流时，平均运输1 立方米碎石Ikm 运费为10 元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10 万元。
建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：
A ( O , 100 ) , B ( 200 , 100 ) , 51 ( 20 , 120 ) , 52 ( 180 , 157 ）。 河与AB 的交点为m4 ( 50 , 100 ) ( m4 处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1 一m7 , m4 的上游近似为一抛物线，其上另外几点为ml ( 0 , 120 ) , m2 ( 18 , 116 ) , m3 ( 42 , 108 ) ; m4 的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5( 74 , 80 ) , m6 ( 104 , 70 ) , m7 ( 200 , 50 ）。 桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。 此地区没有其它可以借用的道路。
为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从51 , 52 所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。 三 问题分析
题中已给出两个采石点，需要我们来设计从两个采矿点s1,s2运送碎石到AB路上并对其进行改造的线路。
工程的总费用由以下几个部分构成：改造AB所需的碎石的成本、将这些碎石从采石点运到AB的费用、将已经运到AB上的碎石在AB上铺开所需的费用、修建临时道路的费用、修建码头的费用。这五部分中，将这些碎石从采石点运到AB的费用、将已经运到AB上的碎石在AB上铺开所需的费用、修建临时道路的费用、修建码头的费用。这五部分中，将这些碎石从采石点运到AB的费用、将已经运到AB上的碎石在AB上铺开所需的费用和修建临时道路的费用将占主要部分。
显然，如果沿着一条单一的线路进行运输，由于AB公路空间跨度太长，此方案并非最优，因而不论是从s1和还是s2出发的线路都应该是一个稍微复杂一些的网状结构。与陆地运输相比较，水路运输一方面不需要铺设临时道路（简单的计算可以知道，这部分的费用通常是千万元级的），另一方面，运送同样数量的碎石在相等的距离范围内，水路运输的费用仅仅为陆路运输的3/10，而水路运输修建的临时码头所需的10万元，与庞大的运费相比，则显得微不足道。因而，合理而充分的发挥水路运输的优势，将会使总费用大大减少。修桥的费用很到高，因而我们不考虑建桥。
事实上，我们就是要在所有可能的轨线 中找出满足各种空间约束及资源约束并使沿着这些轨线运输石料铺路的费用最小的一些轨线。在这方面，
泛函分析有无可比拟的优势，我们可以将泛函分析与规划相结合来找到最优解。另一方面，在对运输线路最优解的特性有了一些认识之后，我们可以从总体上设计出运输线路的模式，在此基础上，我们也可使用规划来解决这个问题。对于最优解特性的充分认识，将可以保证我们获得非常接近最优解的结果。 四 基本假设
1.车辆空载回来的费用认为已经包含在石料的运费中，因而可以不予考虑，其实实际情况也往往是这样。
2.桥的造价很高，与其他费用相比，可以看作无穷大。 3.河流的宽度足够用于在河的两岸同时建两个码头。 4.渡河的费用可以忽略不计。 5．此地区没有其它可以借用的道路。
6.因为河流的上下游都近似为抛物线，因而在我们的后续处理中，可以将其按照抛物线对待。
7．实际修建的道路可以完全按照我们设计的道路修建，不需要因为某处有村庄、湖泊、建筑物等而绕道。 五 符号说明
：第i段道路的长度。 ：第i条道路的运量。
：改造AB所需的碎石的成本。4：将改造AB所需的碎石从采石点运到AB的费用。
：将已经运到AB上的碎石在AB上铺开所需的费用。 ：修建临时道路的费用。
：修建码头的费用。
R：从S1向河流的上游所做垂线与河流的交点。
P：AB道路上 s1采石点供应区域与s2采石点供应区域之间的分界点。 n：碎石临时堆放点的数目。 六 模型的建立与求解
6.1初步分析 6.1.1河流轨迹的辨识
河流的上下游的轨迹近似为抛物线，可使用已知的几个点ml ( 0 , 120 ) , m2 ( 18 , 116 ) , m3 ( 42 , 108 )，m4 ( 50 , 100 )，m5( 74 , 80 ) , m6 ( 104 , 70 ) , m7 ( 200 , 50 ）进行曲线拟合，拟合的结果为（以横轴为x轴，纵轴为y轴）： 河流上游： 河流下游：
6.1.2合理的铺路模式 Fig 1
如图所示，假设一堆碎石已被运送到AB上的某处M，将这堆碎石在道路AB上铺开，从M处铺至N处，所花的费用为：
可见，铺路的费用随着路长是以平方级增长的。对于上面的模式，我们考虑，如果不是从M开始，只向一边铺路，而是向左向右都展开的模式，如图2示： M N O Fig 2
在道路总长度仍为l的情况下，此时的费用为：