奥运奖牌预测
摘要
本文根据中国在24~28届奥运会获得奖牌情况，建立了灰色预测G（1，1）模型对29届奥运会中国获奖牌数预测，并进行灰色关联度分析，得出各个项目对金牌的影响。最后建立了综合评价模型对各个国家体育实力进行评估。并对模型进行了分析，依据分析结果对模型进行了评价。
首先，根据24~28届奥运会我国获奖牌数建立了灰色GM(1,1)预测模型，并运用matlab7.0进行求解得到25届到28届中国所获金、银、铜牌数目的预测值，通过与实际所获奖牌数目进行比较（见表2-4），并进行了检验，结果表明金牌、银牌的预测具有一级精确度，而铜牌数目的预测结果不合格，我们引入残差模型进行了修正，修正后的结果也获得了一级精确度。据此，我们预测29届奥运会中国获得金牌数为42枚，银牌数为15枚，铜牌数为14枚。同时，根据实际情况，我们在预测结果的基础上考虑到东道主效应，根据历届奥运会东道主效应，得出东道主效应因子1.13，即东道主的获奖牌数是非东道主时的1.13倍，以此修正了预测值，得到最终结果奖牌数为80枚。
同时为了积极备战奥运，获得奥运最佳备战策略，我们根据24~28届中国奥运金牌数目并查找了各项目获金牌数，并对其进行了灰色关联度分析，得出我国历届奥运会各项目的相对优势程度，并结合实际情况进行分析，提出了巩固传统优势，扩大夺金项目的建议。
对于问题II，我们利用文献资料法，分析了衡量一个国家体育实力的各个指标，最后得出三个最重要的指标即竞技比赛成绩、体育全民参与度、体育产值，在求解模型过程中，我们用体育人口比例代表健身全民参与度这一指标，使问题得到简化，不仅利于求解也利于理解。同时我们分析了当前我们对金牌大国与体育强国理解的误区，最后利用求得的结果很好的解释了金牌大国不等于体育强国，并提出体育变强还得从大众体育入手。
最后，我们对所建立模型的优缺点进行分析和评价，灰色GM（1，1）模型对于短期预测有较好的结果，而综合模型有点在于能进行客观、公正、合理的全面评价。难点在于指标的确定和权重系数的确定。并对模型可能的改进方向和应用做说明。
关键字：GM(1,1)灰色预测模型 灰色关联模型 东道主效应 综合评价模型
1
一、问题重述
1.1 问题背景
29届奥林匹克运动会将于2008年8月8日至24日在中国首都北京举行，届时将举行28个大项，38个分项的比赛，产生302块金牌。本届奥运会在北京举行从无论从举办规模、参数队员人数、各国重视程度，都是空前的。而雅典奥运会我国金牌数仅次与美国排名第二，无疑提高了本届奥运会各国获奖牌数的关注度，如果能够科学的预测奥运会奖牌数，不仅能增加奥运会的关注度，同时也能为国家进行奥运备战提供一定的依据。因此，对于奥运会金牌的预测具有及其重大的意义。 1.2 需要解决的问题
题目在给出24~28届奥运会各参赛国获得奖牌数前提下，提出一下两个问题： 1）根据附录一中所给88年，92年，96年，00年，04年各国家和地区所获金、银，铜牌数目，设计一个模型预测中国队在本届奥运会上将获得多少枚奖牌。
2）确定衡量一个国家的体育实力的标准，建立相应的模型，搜集求解。数据进行
二、问题分析
问题一、奥运会的比赛存在许多随机因素，如运动员的超常发挥、失误，受伤、运动员的状态等，增加了预测的不确定性。而又由于奥运会四年举行一次，间隔时间长，一方面，这一届和前一届运动员情况变化大，另一方面，我国参加奥运会时间晚，已知数据少，这些都增加了预测的难度。针对问题的特点：时间关联性和数据少，考虑建立灰色预测模型求解。
问题二、一个国家的体育实力与多个方面相关，如经济水平、竞技实力、人口规模等，并且这些因素中又有交叉，互相影响，使得提出一个客观、公正的标准有一定的难度。但是考虑到综合评价模型正是一个若干同类被评价对象进行客观、公正、合理的全面评价的模型。
自24~28届奥运会中国所得奖牌情况如下表：
表格 1
三、基本假设
1. 从第24届奥运会至今国际环境基本不变，对比赛结果无重大影响 2. 奥运会，所有裁判能够公平公正的判罚。 3. 比赛时，没有运动员得重大疾病。
2
四、 模型建立及求解
问题一
一、 GM(1,1)灰色预测模型
1、模型提出
灰色系统理论是一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科，它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类方法，在形式上是单数列预测，只运用研究对象自身的时间序列建立模型，与其相关联的因素没有参与建模，这正是灰色系统“灰”的体现。因为任何一个系统究竟包含多少因素，难以说清。这反映奖牌预测具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其历届奖牌数序列综合灰色量所包涵的内在规律。
2、GM(1,1)灰色预测模型原理
步骤一：求累加生成列 设
原
始
灰
色
数
据，为对
x(0)(1),x(0)(2)，?，x(0)(n)其
做
一
次
累
加
得
，：
记x(0)?(x(0)(1),x(0)(2)，?，x(0)(n))x(1)?{x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),?,x(1)(n)}，上标1表示一次累加，其中，
x(k)??x(0)(t),k?1,2,?,n(1)t?1k，则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dx(1)(1)?ax?u， dt其中a称为发展灰数，u称为内生控制灰数。参数a、u计算方法如下：
?a??=??利用最小二乘法求解，解得a??(BTB)?1BTYn， a?u???1/2[x(1)(2)?x(1)(1)?(1)(1)?1/2[x(3)?x(2)?其中B??...?(1)(1)??1/2[x(n)?x(n?1)
1??1?...?,求解微分方程即可得 ?1?3
uux(k?1)?[x(0)(1)?]e?ak?
aa
步骤二： 模型检验
为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，运用后验检验法： 计算原始序列标准差：
?(1)?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k) xS1?(0)(0)2[x(i)?x]?n?1
(0)(0)2[?(i)??]?计算绝对误差序列标准差：S2?计算方差比：C?计算小误差概率：
n?1
S2 S1P?P{|?(0)(i)??(0)|?0.6745S1}令：
ei?|?(0)(i)??(0)|,S0?0.6745S1则 P?P{ei?S0}=1
C<0.35，p>0.95, 则模型精度为一级。 根据灰色系统理论，当发展系数a?(-2,2)且
a??0.3时，则所建GM(1, 1)模型则可用于中长期预测。
步骤三：模型修正
如果检验不合格或者模型精度不够，需要利用残差模型进行修正，原始残差序列
?i(0)(t)?xi(0)(t)，使用该数据序列，建立残差GM（1，1）模型， qi(0)(t)?x?i(1)(k)?(qi(0)(1)?quqaq)e?aq(k?1)?uqaq
u?a(k?1)u(1)(1)(1)??x(k)?(x?)e??q引入残差影响，iii(k)
aa二、模型的求解
1、下标是24~28届中国奥运获奖牌数目表
4
26 27 28 16 28 32 22 16 17 12 15 14 50 59 63 表格1 2、根据上述GM（1，1）模型，利用Matlab7.0求解，得到金牌、银牌、铜牌的预测结果如下： 届数 实际值 预测值 绝对误差 相对误差（%） 25 16 14.6506 1.3494 8.43 26 16 19.0975 -3.0975 -19.36 27 28 24.8942 3.1058 11.09 28 32 32.4505 -0.4505 -1.41 表格2：金牌数 届数 实际值 预测值 绝对误差 相对误差（%） 25 22 22.5067 -0.5067 -2.30 26 22 20.1667 1.8333 8.33 27 16 18.0700 -2.0700 -12.94 28 17 16.1913 0.8087 4.76 表格3、银牌数 届数 实际值 预测值 绝对误差 相对误差（%） 25 16 14.7219 1.2781 7.99 26 12 14.4021 -2.4021 -20.02 27 15 14.0892 0.9108 6.07 28 14 13.7832 0.2168 1.55 表格4、铜牌数 3、模型的检验
C1,?0.2630,P1?1.0000 预测值一级精度，模型好
届数 金牌数 银牌数 铜牌数 总量 24 5 11 12 28 25 16 22 16 54 C2?0.3056,P2?1.0000 预测值一级精度，模型好 C3?0.8033,P3?0.7500 预测不合格
4、对于铜牌的预测不合格，利用残差模型进行修正，得到修正后的铜牌表： 届数 实际值 预测值 绝对误差 相对误差（%） 25 16 15.2015 0.7985 4.99 26 12 14.4857 -2.4857 -20.71 27 15 14.1874 0.8126 5.42 28 14 13.8985 0.1015 0.73 表格 2 ??0.3128,P3??1.0000 一级精度，模型好 C3 5