请考生在22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB。 （1）证明：AC2=AD·AE （2）证明：FG∥AC
23．（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?点P（2,2），倾斜角???x?4cos?（?为参数），直线l经过
?y?4sin??3。
（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；
（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值。
24．（本小题满分10分）
选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)?|2x?1|?|x?3| （1）解不等式f(x)?4； （2）求函数y?f(x)的最小值。
理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 11 D 12 D 二、填空题
13．
163 14．4?3 15．(2,??) 16．322 三、解答题 17．解：
（Ⅰ）由变换得f(x)?2sin??2x????6??. 所以T?2?2??； 由2x???k???62,k?Z，得对称轴为x?k?2??6,k?Z. （Ⅱ）由f(C)?2得sin(2C??6)?1，又C?(0,?)，可得C??6. 在?ABC中，根据余弦定理，有
c2?1?a2?b2?2abcos?226，即a?b?7， 联立ab?23，及a?b，可得 a?2,b?3. 18．解：
（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为0.0004?500?0.2． （Ⅱ）频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x，则
0.0002?500?0.0004?500?0.0005?(x?2000)?0.5， 解得x?2400． （Ⅲ）居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005?0.0003)?500?0.4.
由题意知，X～B(3,0.4)， 因此P(X?0)?C033?0.6?0.216，P(X?1)?C123?0.6?0.4?0.432，……3分 ……6分……8分分分……2分
……6分……8分
……10
……12
23P(X?2)?C3?0.6?0.42?0.288，P(X?3)?C3?0.43?0.064，
故随机变量X的分布列为
X 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 ……10分
P X的数学期望为E(X)?0?0.216?1?0.432?2?0.288?3?0.064?1.2.……12分
19．解：
（Ⅰ）AD?AE,?DAE?60??△DAE为等边三角形，设AD?1，则
DE?1,CE?3,CD?2,??DEC?90?， 即CE?DE． ……3分
?DD??底面ABCD， CE?平面ABCD， ?CE?DD'.
?'?CE?平面DDE??'CE?DD?CE?DF . ……6分 ??'?DF?平面DDE??DE?DD'?D??1?（Ⅱ）取AE中点H，则AD?AE?AB，又?DAE?60,所以△DAE为等边三角
2形.
则DH?AB，DH?CD.
分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD?1,
CE?DE则D(0,0,0),E(3131313,,0),A(,?,0),D'(0,0,3),F(,,),C(0,2,0), 2222442?????????313???33EF?(?,?,),AE?(0,1,0),CE?(,?,0)44222?? 设平面AEF的法向量为n1?(x,y,z)，
?313x?y?z?0??则?4 42?y?0???取n1?(23,0,1). ……8分 ???平面CEF的法向量为n2?(x,y,z)，
?313x?y?z?0???442则? ?3x?3y?0??22???取n2?(33,3,2). ……10分
cos??n21,nn1?n2???20?130n1?n213?4013. 所以二面角A?EF?C的余弦值为?13013. 20．解：
（Ⅰ）依题意知1?p2?54，解得p?12. 所以曲线C的方程为x2?y. （Ⅱ）由题意直线PQ的方程为：y?k(x?1)?1，则点M(1?1k,0) 联立方程组??y?k(x?1)?12?y?x2，消去y得x?kx?k?1?0
得Q(k?1,(k?1)2). 所以得直线QN的方程为y?(k?1)2??1k(x?k?1). 代入曲线y?x2，得x2?1kx?1?1k?(1?k)2?0. 解得N(1?1k?k,(1?k?1k)2). (1?k?1)2(11所以直线MN的斜率kMN?k?k???k)2. (1?1k?k)?(1?1kk)过点N的切线的斜率k'?2(1?k?1k).
(1?k?1由题意有?k)2k?2(1?k?1k). 解得k??1?52. 分 ……4分 ……6分 ……8分
……10分 ……12 故存在实数k?21．解：
?1?5使命题成立． ……12分 2（Ⅰ）a?1，f(x)?1?xlnx，定义域为(0,1)?(1,??)． 1?x1?x22lnx?2lnx1?xx． ……2分 f?(x)???(1?x)2(1?x)x(1?x)21?x2?(x?1)2设g(x)?2lnx?，则g?(x)?．2xx
因为x?0，g?(x)?0，所以g(x)在(0,??)上是减函数，又g(1)?0，于是
x?(0,1)，g(x)?0，f?(x)?0；x?(1,??)，g(x)?0，f?(x)?0．
所以f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1,??)． ……6分 （Ⅱ）由已知a?0，因为x?(0,1)，所以
1?xlnx?0． 1?x（1）当a?0时，f(x)?0．不合题意． ……8分 （2）当a?0时，x?(0,1)，由f(x)??2，可得lnx?2a(1?x)?0．
1?x2a(1?x)x2?(2?4a)x?1设h(x)?lnx?，则x?(0,1)，h(x)?0．h?(x)?．
1?xx(1?x)2设m(x)?x?(2?4a)x?1，方程m(x)?0的判别式??16a(a?1)． 若a?(0,1]，??0，m(x)?0，h?(x)?0，h(x)在(0,1)上是增函数，
又h(1)?0，所以x?(0,1)，h(x)?0． ……10分 若a?(1,??)，??0，m(0)?1?0，m(1)?4(1?a)?0，所以存在x0?(0,1)，使得m(x0)?0，对任意x?(x0,1)，m(x)?0，h?(x)?0，h(x)在(x0,1)上是减函数，又h(1)?0，所以x?(x0,1)，h(x)?0．不合题意．
综上，实数a的取值范围是(0,1]． ……12分 22．解：
2