∴AD=AB=5，AE=AG=3∴由勾股定理得：EG=
．
=6，
AH=GH=EG=3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴DH=
=4，
∴BE=DG=DH+GH=3+4=7．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键．
26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（m﹣2）2+4＞0，进而即可证出：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣m、x1x2=m﹣2，将其代入y=x12+x22+4x1x2=（x1+x2）2+2x1x2中即可找出y与m的函数关系式；
（3）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线的顶点坐标，由二次函数的性质结合﹣1≤m≤2，即可找出y的取值范围． 【解答】（1）证明：∵△=m2﹣4（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2， ∵x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣2，
∴y=x12+x22+4x1x2=（x1+x2）2+2x1x2=（﹣m）2+2（m﹣2）=m2+2m﹣4． （3）解：∵y=m2+2m﹣4=（m+1）2﹣5， ∴顶点（﹣1，﹣5）．
又∵﹣1≤m≤2，∴当x=﹣1时，y最小值=﹣5；
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当x=2时，y最大值=4． ∴﹣5≤m≤4．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出x1+x2=﹣m、x1x2=m﹣2；（3）利用二次函数的性质找出y的最大值及最小值．
27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，△ECF∽△BCA，求a的值；
（2）当a=时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a=2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先表示出CF，AE，EC，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（2）先判断出△AEG∽△ACD，得出EG，再判断出EG=DF，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论； （3）先表示出AG=
厘米，EG=
，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣
（厘米），再分
两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论．
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【解答】解：（1）∵t=2， ∴CF=2厘米，AE=2a厘米， ∴EC=（4﹣2a ） 厘米， ∵△ECF∽△BCA． ∴∴∴
．（2分） ． ．（4分）
（2）由题意，AE=∵EG∥CD， ∴△AEG∽△ACD． ∴∴EG=
，．（5分）
厘米，CD=3厘米，CF=t厘米．
．
∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形， ∴EG=DF． 当0≤t＜3时，∴
．（7分）
， ，
当3＜t≤6时，∴综上，
．
或
（9分）
（3）∵点D是BC中点， ∴CD=BC=3，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=5， 由题意，AE=2t厘米，CF=t厘米，
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由（2）知，△AEG∽△ACD， ∴∴∴AG=
=
=
，
厘米，EG=，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣
=t．
（厘米）．
若∠GFD=90°，则EG=CF，∴t=0，（舍去）（11分）
若∠FGD=90°，则△ACD∽△FGD． ∴∴
， ．
∴t=．（13分）
，△DFG是直角三角形．
综上：t=
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．
28．（14分）定义：形如y=|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．
例如，函数y=|x﹣1|，y=
，y=|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．
绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y=|x|写成分段函数的形式：
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探索并解决下列问题：
（1）将函数y=|x﹣1|写成分段函数的形式；
（2）如图1，函数y=|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；
（3）已知函数y=|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y=|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
的图
，y=|x﹣1|的图
【分析】（1）根据绝对值的性质即可得到函数y=|x﹣1|分段函数的形式； （2）根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2），根据两点间的距离公式得到BE，DE，AE，CE，再根据相似三角形的判定即可求解；
（3）由题意得y=|﹣x2+2x+3|=
，设P的横坐标为x，分
△PMH∽△FMO，△PMH∽△MFO，△PMH∽△MF，进行讨论可求点P的坐标．
【解答】解：（1）
（2）∵函数y=|x﹣1|与函数别交函数
；
的图象交于B，C，过点B作x轴的平行线分
，y=|x﹣1|的图象于D，E两点．
∴根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2）． ∴BE=3﹣（﹣1）=4，DE=﹣1﹣（﹣3）=2，AE=∴在△AEB和△CED中，∠AEB=∠CED，∴△PMB∽△PNA．
（3）P的坐标为（6，21），（
，
），（，
）． ，
，CE=
，
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