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考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题：计算题；证明题。
分析：（1）连接CM，根据M为AB中点，且正方形ABCD边长为1，得到△BCM的面积为S=S正方形ABCD=．因为CC1⊥平面ABCD，是三棱锥C1﹣MBC的高，所以利用锥体体积公式，可得三棱锥C1﹣MBC的体积； （2）连接BC1，正方形ABCD中，因为CD∥AB，所以∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角．Rt△MC1B中，可算出BC1=
，而MB=AB=，利用直角三角形中三角函数的定义，得到tan∠C1MB=
=
，所以异
面直线CD与MC1所成角为arctan． 解答：解：（1）连接CM， ∵正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1， ∴△BCM的面积为S=S正方形ABCD=． 又∵CC1⊥平面ABCD， ∴CC1是三棱锥C1﹣MBC的高，
∴三棱锥C1﹣MBC的体积为：VC1﹣MBC=××2=； （2）连接BC1 ∵CD∥AB， ∴∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角． ∵AB⊥平面B1C1CB，BC1?平面B1C1CB， ∴AB⊥BC1． Rt△MC1B中，BC1=∴tan∠C1MB=
=
．
=
，MB=AB=
所以异面直线CD与MC1所成角为arctan
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www.jyeoo.com 点评：本题给出一个特殊的正三棱柱，求其中的异面直线所成角和三棱锥体积，着重考查了棱锥的体积公式和异面直线及其所成的角等知识点，属于中档题． 20．（2012?上海）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）． （1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？
考点：函数模型的选择与应用。 专题：应用题；综合题。
分析：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得
从而可求内环线列车的最小平均速度；
（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18﹣x）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间
，
得结论．
解答：解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得
，根据
，解不等式，即可求
，
∴v≥20 ∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；
（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18﹣x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟， 则∴
，
∴
∴
∵x∈N+，∴x=10 ∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟． 点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间．
21．（2012?上海）已知双曲线C1：
．
）的双曲线C2的标准方程；
时，求实数m的值．
（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程。 专题：综合题。
分析：（1）先确定双曲线C1：
的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
），
建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；
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www.jyeoo.com （2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值． 解答：解：（1）∵双曲线C1：∴焦点坐标为（
，0），（
，0）
（a＞0，b＞0），
）
，
设双曲线C2的标准方程为
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
∴，解得
∴双曲线C2的标准方程为
（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x 由
，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m，m）
∴∵
2
∴m=3 ∴
点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键．
22．（2012?上海）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足
（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设
，
．求正整数k，使得对一切n∈N，均有bn≥bk；
*
．
（3）设，
．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．
考点：数列递推式；数列的函数特性。 专题：计算题；分类讨论。 分析：（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；
（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；
（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可． 解答：解：（1）∵an+1﹣an=3， ∴bn+1﹣bn=n+2， ∵b1=1， ∴b2=4，b3=8．
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（2）∵
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∴an+1﹣an=2n﹣7， ∴bn+1﹣bn=
，
由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…； 由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4． ∴k=4．
n+1
（3）∵an+1﹣an=（﹣1），
n+1n
∴bn+1﹣bn=（﹣1）（2+n）．
nn﹣1
∴bn﹣bn﹣1=（﹣1）（2+n﹣1）（n≥2）．
1
故b2﹣b1=2+1；
2
b3﹣b2=（﹣1）（2+2）， …
bn﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）（2+n﹣2）．
nn﹣1
bn﹣bn﹣1=（﹣1）（2+n﹣1）． 当n=2k时，以上各式相加得 bn﹣b1=（2﹣2+…﹣2=
2
n﹣2n﹣1
n﹣2
+2
n﹣1
）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）] +．
+=
∴bn=
当n=2k﹣1时，
=++．
==﹣
+﹣+
+﹣（2+n）
n
∴bn=
．
点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用．是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目．
23．（2012?上海）定义向量量”为
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向
=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（1）设g（x）=3sin（x+
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模； （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）+y=1上一点，向量点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
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2
2
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当
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www.jyeoo.com 考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性。 专题：计算题；新定义。 分析：（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明； （2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；
（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论． 解答：解：（1）g（x）=3sin（x+其‘相伴向量’
）+4sinx=4sinx+3cosx，
=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx =﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx ∴函数h（x）的‘相伴向量’则|
|=
的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=
，sinφ=
．
=（﹣sinα，cosα+2）．
=
．
sin（x+φ），
（3）
其中cosφ=
当x+φ=2kπ+
，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+
﹣φ）=cotφ=，
﹣φ，k∈Z．
∴tanx0=tan（2kπ+
tan2x0=
==．
为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣令m=，则tan2x0=
，m∈[﹣
，0）∪（0，
}．
]．
，0）∪（0，
当﹣
≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；
当0＜m≤
时，函数tan2x0=
单调递减，∴﹣
≤tan2x0＜0．
综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．
点评：本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．
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参与本试卷答题和审题的老师有：
lcb001；zwx097；qiss；xiaozhang；zlzhan；sllwyn；庞会丽；danbo7801；wfy814；吕静；zhwsd；俞文刚；muyiyang；席泽林。（排名不分先后） 菁优网
2012年6月10日
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