法。特别是他们并未看到“求切线”和“求面积”之间的互逆关系。利用这种关系可以将“求面积”这一繁琐的运算化为“求切线”的逆运算这一简便计算的事实，所以他们并未成为微积分学说的创立者。
在历史上，十七世纪英国数学家巴罗是第一个看到这一互逆关系的人。巴罗(1630～1677)，曾任剑桥大学第一任“卢卡斯教授”，三一学院院长和剑桥大学副校长，牛顿的老师。他的代表作有：《数学讲义》(1664～1666)，《光学讲义》(1669)，《几何讲义》(1670)。在数学方面的主要贡献有：给出求曲线切线的方法，引入“微分三角形 的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间的互逆关系。所有这些，对于后人，特别是对于牛顿和莱布尼兹确立微积分体系有着重要的启发，对于后人，巴罗被认为是微积分创立的先驱者。
他在《几何讲义》一书的第10讲和第l1讲中，以几何形式给出了求面积和求切线的互逆关系，这一关系用现代数学语言可以表叙为： 建立坐标系XOY，使OY向下，现有增函数y?f(x)在坐标系中表示为曲线BGE(图1)，D(x,0)为OX上任一点，曲线BGE和OD及纵线BO，ED所围成的面积(即曲边梯形OBED的面积)是x的函数，记作S(x)，为了便于比较，以OY的反方向为OZ,建立坐标系XOZ，作出函数Z=S(x)的曲线OIF，F(x，S(x ))是ED延长线与曲线的交点，在OX上取点T，使得TD?DFS(x)。巴罗断言直?EDy线TF是曲线OIF在点F的切线(原话是TF仅在点F与OIF相接触)，并以较为初等方法加以证明。
很容易看出直线TF是分析意义下面积函数S(x)的切线。若同时适当地定义斜率，则上述结论就相当于
S?(x)?dxf(u)du?F(x)。 dx?0 巴罗的这一结果被认为是微积分基本定理的最早形式，从而对微积分的创立起到了巨大的作用。由于这一结果是甩几何语言叙述的，较难理解，应用也较为困难，再加上巴罗本人对于接近微积分基本定理的重大发现似乎认识不足，因此这一发现在当时影响不大。再加上他的兴趣日益转向神学，1669年，巴罗主动宣布牛顿的才华超过自己，并
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将“卢卡斯教授”这一重要职位让给了年仅26岁的牛顿，从而为牛顿在科学研究中显示自己的才华创造了机会。与此同时，揭示微分和积分内在联系，确立微积分基本定理在微积分学中核心地位的重任历史地落在牛顿和莱布尼兹肩上。
1.3牛顿的反流数形式的微积分基本定理
牛顿(1642~1727)是英国最伟大的数学家、物理学家、天文学家，微积分学的奠基人。一般认为牛顿是在前人的工作基础上进行分析和综合的基础上建立他的理论体系的，他将古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分。以“流数”(导数)为该理论的核心概念，并通过逆过程(反流数)来解决面积等积分问题，是牛顿构建微积分理论的主要特点。
牛顿研究微积分的代表怍有三本：《论流数》写于1666年；《无穷多项方程的分析》写于1669年，发表于1711年；《流数法和无穷级数》写于1671年，发表于1736年。 牛顿被认为是完全继承了费马和瓦里斯的无穷小算法，实际上他的发展远大于继承。他从瓦里斯的整数幂有限项级数得到启发，发现了无穷级数的二项式定理。使无穷小更富于活力，并使他可以从函数关系中自变量的无穷小量变化和相应的函数变化量之闯的比例关系加以考虑，从而得到人类有史以来最有力的数学工具——微分方法及其思想，牛顿称之为“流数法” 。进而，他发现反流数法，可以由切线求出曲线，由流数求出函数，更加神奇地是利用反流数法，可以轻松求出曲线所围图形的面积，而不必借助复杂的穷竭法求面积。
牛顿将求曲线切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到代数形式的互逆运算形式，这是历史上第一次以明确形式给出了微积分基本定理。 以下是牛顿在《论流数》中首次给出的微积分基本定理：
设y为曲线g?f(x)下图形abc的面积，作de//ab，ad⊥ab，ce⊥de，be=1，当垂直线cbe以单位速度向右移动时，cb扫出面积abe=y，其流数
?dy??dx????q，be扫出adeb=x，其流数???p?1。因此，?dt??dt??dy??dydt?q???q?f(x),于是面积y可以通过面积???????dx??dxdt?p 3
?dy?的变化率???f(x)，经过反流数求得(如图2)。
?dx? 这里，牛顿虽未以命题形式叙述和证明微积分基本定理，但他确实很清楚地看到这个事实，并应用它使许多动力学、运动学的问题到牛顿手里变为简单问题，从而使牛顿在经典物理学做了开创性的工作。牛顿在以后的著作中，如《流效法和无穷级数》中将微积分分为二个基本问题：已知流量关系，求流数比；已知含流致的方程，求流量的关系，从而确定这两个问题的互逆关系，进而建构起系统的微分法和反微分法。
1.4莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理
莱布尼兹(1646~1716)，德国伟大的哲学家、数学家、微积分的奠基人之一。 他开始研究数学的时间比牛顿要晚，在十七世纪七十年代，他开始了解到笛卡尔、瓦里斯、巴罗在研究做积分的初期工作，并萌发了与做积分有关的思想。做为一位哲学家，他是从发现和揭示做积分基本原理入手发展他的学说的，独立的微分dx和dy作为他的体系基本概念，面积和体积被看成为若干个微分之和。
巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到：曲线切线依赖于纵坐标的差值与横坐标差值之比，求面积依赖于横坐标的无穷小区间的纵坐标之和，再加上他对整数平方和序列中“和”与 差”关系的研究，使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题，从而促使他去研究“?”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系。在他研究了积分和微分的运算之后，注意到这样一个事实：
“对于pdx?xdx，转换成和式就变为?pdx??xdx，而从我们所建立的求切线方法中，明显地有d121x?xdx，所以反过来x2??xdx．因此作为普通运算的幂和根式，和与差，22“?”和“d”是互逆的。”
通过以上不充分的论证，莱布尼兹第一次表达出微分和积分之间的互逆关系。 1675~1676年间，他给出微积分基本定理
df?f(b)?f(a),?f(x)dx?A， dx?ba其中A为曲线，所围图形的面积。1693年，他给出了上述定理的一个证明．以上这些都发表在《教师学报》上。
将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志。牛顿和莱布尼兹
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在前人研究的基础上，各自独立地将微分和积分真正地沟通。通过微积分基本定理将两种运算统一起来，明确这对矛盾是可以转化的，是一对互逆的运算，这是建立微积分的关键所在，只有确定了这一基本关系，才能构建系统的微积分理论，并从对各种微分和求积公式中，归纳出共同的算法，从而为微积分应用提供了有力武器。这就是牛顿、莱布尼兹做为微积分理论奠基人的主要功绩。
1.5柯西现代形式的微积分基本定理
牛顿和莱布尼兹的做积分体积中，总是将积分看成微分的逆运算，并且他们的积分概念也是含糊不清的，有时指为定积分，有时又为不定积分、特别是将积分定义为微分的逆命题，从某种意义上影响了积分学做为相对独立数学分枝的发展，造成了微积分发展的曲折，这种情况到微积分进行严格化尝试时才有所变化。
柯西(1779～1857)，十九世纪法国著名的数学家，他在分析基础、单复变函数、常微分方程方面作出巨大贡献。他是微积分的真正理论基础——极限理论的缔造者。我们今天看到极限、连续性定义、把导数看成差商的极限、把定积分看成和的极限、微积分基本定理现代形式和证明，事实上都是柯西给出的。
柯西在他的《无穷小计算概念}(1823)中对定积分作了最系统的开创性工作，首先他恢复了把积分作为和的特征。
他对连续函数f(x)给出了定积分作为和的特征，他指出；如果f(x)是定义在区间?x0,x?上连续函数，区间?x0,x?为x的值x1,x2，?，xn?1所分割，那么f(x)在?x0,x?上的积分是指特征和式
f(x0)(x1?x0)?f(x1)(x2?x1)???f(xn?xn?1).
当xi?1?xi无限地减小时的极限。柯西证明了“这个极限仅仅依赖于函数f(x)的形式以及变量x的两端值x0和X” ，因此他称这个极限为定积分，记作?f(x)dx。用以代替高
x0X?x?b?斯对反微分法经常使用的记号?f(x)dx?。 ??x?a? 接着柯西定义，F(x)??f(x)dx，利用推理证明了F(x)在?x0,X?上连续，并且设
xx0F(x?h)?F(x)1x?h??f(x)dx.
hhx
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?x??利用积分中值定理证明了?f(x)dx?f(x)，即f(x)在区间?x0,x?上的定积分的导数就???x0?是f(x)的本身。这就是微积分基本定理的现代形式，所给的证明也是微积分基本定理第一个严格的证明。
柯西接着证明了：给定函数f(x)的全体原函数彼此只差一个常数之后，定义了不定积分
?积分基本定理的全部任务。
f(x)dx??f(x)dx?c。
abax在这一著作中，柯西指出，若f?(x)连续，则?f?(x)dx?f(b)?f(a)。从而完成了揭示微
1.6黎曼积分下的微积分基本定理
黎曼（1826~1866），19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。
1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。
柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。
黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。（即柯西-黎曼方程）
设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)定义在区域D内，并且在D内一点z?x?iy可导。所以对于充分小的?z??x?i?y?0，有
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