（换元公式）定理：设f?x?在区间?a,b?上连续，x???t?在区间??,??（或区间??,??）上有连续导数，其值域包含于?a,b?，且满足?????a和?????b，则
?f?x?dx???f???t?????t?dt。
ab?证 因为f?x?连续，所以必有原函数。设F?x?为f?x?的某个原函数，由复合函数求导法则，可知F???t??是f???t?????t?的一个原函数。按Newton?Leibniz公式，则有
???f???t?????t?dt?F???????F???????F?b??F?a???f?x?dx.
ab 证毕 它还建立了微分中值定理与积分中值定理的联系：
假使函数f?x?在区间?a,b?上联系，且存在原函数F?x?，利用微积分基本定理，可由关于F?x?的微分中值定理导出关于f?x?的积分中值定理，反之亦然。
?f?x?dx?F?b??F?a??F?????b?a??f????b?a?,a???b。
ab 微积分基本定理还揭示了一个事实：定积分可归结为一个只与被积函数和积分区间端点有关的量，并且这一思想也可以推广到多元函数的积分，如格林公式、高斯公式、斯托克斯公式就表明多元函数在某个区域上的积分可归结为一个只与被积函数和积分区域的边界有关的量。（积分区间为区间时，其边界为区间的端点；积分区域为平面区域或曲面区域时，其边界为一条封闭曲线）
2.3微积分基本定理在Taylor中值定理的积分证明中的应用
Taylor中值定理是说，若f(x)在?c,d?中有n?1阶连续导数。则对?a,b?(c,d)有
f??(a)f(n)(a)f?n?1?(?)2n?b?a?n?1 f(b)?f(a)?f?(a)(b?a)?(b?a)???(b?a)??n?1?!2!n!其中，?介于a、b之间。
对此定理，大多都是通过构造辅助函数借助Cauchy中值定理或Rolle定理来证明的。也可用积分手段来证明，则较简明。Taylor中值定理等价于
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f(b)?f(a)??k?1nf?k??a?f?n?1????k?b?a???b?a?n?1.
?n?1?!k!而此式可经由牛顿—莱布尼茨公式变形，然后直接计算得到（差的积分化+分部积分法）；
f(b)?f(a)??baf??x?dx???b?x?t0b?af?(b?t)dt??b?a0f??b?t?dtb?ab?ab?a??tf?(b?t)???tdf??b?t??f?(a)(b?a)??tf???b?t?dt0001b?a?f?(a)(b?a)??f???b?t?dt220?12???b?a1b?a2????f(a)(b?a)??tf?b?t????tdf?b?t?0220??f???a?1b?a2??b?a???0f????b?t?dt3????f?a??b?a??23! f???a?f?n??a?1b?a?n?1?2nn?b?a??????b?a???0f?b?t?tdt?f??a??b?a??2!n!n!naf?k??a??b?a?k?1?bf?n?1??x??b?x?nd?b?x???k!n!k?1??k?1nn??k?1naf?k??a?1?n?!?k??b?a??f?????b?b?x?nd?b?x???由积分第一中值定理k!n!f?k??a?1n?1?a?b?a?k?1f?n?1???????b?x?n?1?bk!n!????k?1f?k??a?f?n?1????k?b?a???b?a?n?1.?n?1?!k!其中?介于a、b之间。这样我们便得到
f(b)?f?a???k?1nf?k??a?f?n?1????k?b?a???b?a?n?1.
?n?1?!k!
2.4利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理
若f(x)在?a,b?上连续，且f(a)?f(b)?0.则?c??a,b?满足f(c)?0.这便是连续函数的零点定理。它是与介值定理等价的一种特殊形式。下面借助于牛顿—莱布尼茨的等价
?x??形式??g?t?dt??g?x?及微分学中的Fermat定理来给出它的一个 微积分证明。不失普?a?遍性。令f?a??0，f?b??0.令F?x???f?t?dt，则F?x?在?a,b?上可导（在a处有右导数
ax 13
在b处有左导数F?(b?)），且F?(x)?f(x).由于f?a??F??a???limF?a?，???由极限性质知道，??a,m???a,b?F?x??F?a??0，
x?ax?aF?x??F?a??0即满足：?x??a,m?,x?aF?x??F?a??0?F?x??F?a?.这表明F?a?不是连续函数F?x?在?a,b?上的最大值。同理，
F?b?也不是最大值。故f?x?在?a,b?上的最大值只能在?a,b?中某一点c处取到。此时c也
是极大点。由Fermat定理知F??c??0，即f?c??0。
2.5一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广
定理1 ：若函数f(x)在闭区间?a,b?上可积，且存在函数F(x)使得 (1)F(x)在?a,b?上连续；
(2)F(x)在(a,b)内可导，且F?(x)?f(x)， 则有
?baf(x)dx?F(b)?F(a)。
证明：在区间?a,b?中插入n?1个点x1,x2,?,xi?1,xi,?,xn?1，将区间?a,b?n等分，其中
x0?a,xn?b,xi?a?b?ai?i?1,2,?,n?1?，记?xi?xi?xi?1。 n因为F(x)在?a,b?上连续，故有
F(b)?F(a)???F(xi)?F(xi?1)??lim??F(xi)?F(xi?1)?。
i?1n??i?1nn 又因为F(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且F?(x)?f(x)，于是F(x)在各个小区间?xi?1,xi?条件，故有 ?i?(xi?1,xi)(i?1,2,?，n)使得
F(xi)?F(xi?1)?F?(?i)(xi?xi?1)?f(?i)?xi。
所以 F(b)?F(a)?lim?f(?i)?xi。
n??i?1n 又因为f(x)在闭区间?a,b?上可积，所以无论对区间(a,b)怎样划分，以及区间
?xi?1,xi?上的任意一点，lim?f(?i)?xi皆存在并等同于同一个常数?an??i?1nbf(x)dx，故按照将
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?a,b?等分并?i取上述这些?i的方法也有
F(b)?F(a)?lim?f(?i)?xi??f(x)dx
n??i?1anb定理 2：函数f(x)在?a,b?闭区间上可积，若存在函数F(x)满足条件 （1）F(x)在?a,b?上连续；
（2）(a,b)内除有限个点外有F?(x)?f(x)恒成立，则有
?baf(x)dx?F(b)?F(a)。
证明：假设点x1,x2,?,xm?1?(a,b)(a?x0?x1?x2???xm?1?xm?b)是开区间(a,b)内使得F?(x)?f(x)不成立的全部点，这些点将整个闭区间?a,b?分割成m个小闭区间：，f(x)和F(x)在这m个小区间上皆满?x0,x1?，?x1,x2?，??xm?1,xm?（其中x0?a,xm?b）足定理1的条件，于是有
?baf(x)dx???i?1mxixi?1f(x)dx???F(xi)?F(xi?1)??F(b)?F(a)
i?1m定理3：函数f(x)在闭区间?a,b?上可积，若存在函数F(x)满足条件
F(x)在?a,b?上连续；在(a,b)内除点集
E??i?i??a,b?且U0(?i;?)?(a,b)??,i?1,2,?,N.N为有限数，?为任意小正数外，均有
??F?(x)?f(x)，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)。
证明：（1）先设E有一个点?且??a，因为f(x)在?a,b?上可积，从而f(x)在?a,b?上有界，即存在常数M?0，使得?x??a,b?有f(x)?M。又F(x)在?a,b?上连续，从而F(x)???在?a,b?上一致连续，故对???0,???0，且可要求??min?b?a,?，使得对
M???x?,x????a,b?只要x??x????，便有F(x?)?F(x??)??2。
? 由于?为E中的唯一点，且U0(?i;?)?(a,b)??从而在(a,a?)内几乎含有E的全
2
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部点，而在(a?又由于a??2,b)内至多含有E中有限多个点。
?2?a????，从而有F(a?)?F(a)?。 222????????? 显然，f(x)在?a?,b?上可积，F(x)在?a?,b?上连续且在(a?,b)内含有E中
22?2???有限个点，从而除去这有限多个点之外均有F?(x)?f(x)。根据定理2，有
?ba??2f(x)dx?F(b)?F(a?)。
2?于是
?baf(x)dx??F(b)?F(a)??a??a??2af(x)dx??ba??2f(x)dx??F(b)?F(a)?
?2 ??af(x)dx?F(b)?F(a?)?F(b)?F(a)
2? ?F(a?)?F(a)??a2ba?a??2f(x)dx??2??2M?M??。
由?的任意性可知，?f(x)dx?F(b)?F(a)。
(2)设E有有限个点，总可在?a,b?中插入有限个点a?c0?c1?c2???ck?1?ck?b使得在
?ci?1,ci?中至多有E的一个聚点，则由(1)的证明可知
?于是
cici?1f(x)dx?F(ci)?F(ci?1)(i?1,2?,k)
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????ac1c1c2bck?1f(x)dx??F(c1)?F(a)???F(c2)?F(c1)?????F(b)?F(ck?1)? ?F(b)?F(a)
2.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广
通常牛顿—莱布尼兹公式只适用于求定积分，而对于多元函数积分的计算，则是将其化为定积分来进行。事实上，在一定的条件下，可以建立多元函数的牛顿—莱布尼兹公式，从而将多元函数积分直接化为相应函数的函数值计算。这就要建立多元函数的牛
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