3.3 利用微分证明微积分基本定理
证 ?F?x?在?a,b?上可导 ?F?x?在?a,b?上连续
设a?xi?x2???xi?xi?1???xn?xn?1?b是?a,b?的任一分割，则
F?b??F?a??lim??F?xi??lim??dF?xi??o??xi????0i?1nn??0i?1?lim?dF?xi??lim?f?xi??xi?lim?f??i??xi??f?x?dx??0i?1nnn
ba??0i?1??0i?1其中?xi?xi?1?xi?i?1,2,?,n?，??max??xi?
1?i?n
3.4 利用中值定理证明微积分基本定理
证 ?F?x?在?a,b?上连续 ?根据中值定理得
F?b??F?a??lim??F?xi??lim?f??i??xi??0i?1nn??0i?1?lim?f??i??xi??f?x?dx??0i?1an
b
3.5在实变函数中勒贝格对微积分基本定理进行了进一步的探索
定理：若f?L?a,b?，F??x??f?x?,a.e.x??a,b?，且F?x?在?a,b?绝对连续，则
?L??af?x?dx?F?b??F?a?。
证 已知F?x?，?f?t?dt在?a,b?绝对连续，且
axb?x???F?x???af?t?dt??0，a.e.x??a,b?. ??
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因此
F?x???f?t?dt?c,?x??a,b?.
ax令x?a，得c?F?a?，代到上式得F?a??F?x???f?t?dt.
ax令x?b，得F?b??F?a???f?t?dt。便是所要证的结果。
ab
结论
经过前几章的分析，我们了解到微积分基本定理是微积分中最重要的定理。在积分理论中，柯西积分的对象时连续函数的积分，当然许可在某些点上不连续或无界，即包括了现在所说的反常积分。而黎曼考虑的对象是使得积分和极限存在的函数类，也就是所谓的黎曼可积类。黎曼可积函数许可更多的不连续点，极大地扩充了可积函数类。现在我们知道有界函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续，但是还要研究具有不连续点的函数，进而引出勒贝格积分，完善了微积分基本定理。微积分基本定理的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑，具有重要的意义。
致谢
首先，本论文的所有研究工作从论文的选题、实现条件到论文的写作等阶段都是在杨志林教授的悉心指导下完成的。导师在学术和生活等方面的给予了无微不至的关怀和指导。导师严谨的治学态度、渊博的学术知识、诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风范使作者获益颇多。谨向导师致以最衷心的感谢。感谢在本科学习期间给我上课的老师们。需要一一感谢我的同学们，有幸与你们同学是我大学期间的最大收获。
其次，感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。
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最后，感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿；感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予了我很多论文素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
参考文献
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