1.5 测量结果不确定度估算及表示
一、用不确定度表示测量结果的准确程度
在得到了测量值和计算出合成不确定度后，通常要写成下列形式：
N?N'?uC（单位） （P=0.683） (1.19)
E?uc?100% (1.20) N'上式称为测量结果表达式。其中N为真值，N'为测得值，P是置信概率。其物理意义是：真值在（N'-uC）～（N'+uC）范围内的置信概率是68.3%。还可以取2uC，3uC等（就是取不同概率大小的总不确定度），这时结果表达式可以写成
N?N'?2uC,N?N'?3uC等。它们的物理意义就成为：真值在（N'-2uC）～（N'+2uC）
或（N'-3uC）～（N'+3uC）范围内的置信概率为95.4%或99.7%。实际测量中，要准确得到概率是比较困难的，实际概率是以上理论概率的近似。
在实验结果表示中，一般采用上式。 二、直接测量结果的不确定度估算 1．单次测量
实际测量中，遇到不能进行（或不需要）多次测量的量，把测量值x1作为该物理量的值，取仪器误差限Δ
仪作为测量的不确定度，即
x=x1±Δ
相对不确定度：
仪（单位）
仪/（P=100%） (1.21)
或 x=x1±uc=x1±Δ3 （单位） （P=68.3%）
E?uc?100% (1.22) x1仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书规定的示值误差或准确等级来确定。例如，50分度的游标卡尺，测量范围在0～300mm内，示值误差为±0.02mm；量程150mA，0.5级的电流表的允许误差限为0.75mA(磁电式电表误差＝量程×级别％)。
在物理实验中还可以简化约定一些仪器的误差限，即取其最小刻度的1／2或1／3，如米尺Δ
仪＝0.5mm，千分尺
Δ仪=0.005mm等。
2．多次等精度直接测量的处理
.15.
用算术平均值作为真值的最佳估算值，见式（1.1），不确定度为u?果表示为
22。结uA?uBx?x?u
E?uc?100% (1.23) x例 用螺旋测微计测一铁球的直径d
测量记录：螺旋测微计（No.5310），零点读数为–0.004mm d/mm 13.217 13.208 13.218 13.209 13.215 13.207 13.213 13.215 d?13.2127 mm , s?0.0042 mm , s(d)?0.0015 mm d?[13.2127-(-0.004)] mm?13.2167 mm
不确定度的来源:
1. 多次测量 uA(d)?0.0015 mm
2. 螺旋测微计误差 uB(d)?Δ/3?0.004 mm/3?0.0023 mm 合成标准不确定度
uc(d)?0.00152?0.00232mm?0.0027mm
测量结果 d=(13.2167±0.0027 ) mm E=0.02%
三、间接测量的不确定度的计算及结果表示 1．间接测量量的最佳值
设N为某一间接测量量，x,y,z,…为k个直接测量量，其函数形式可表示为
N?f(x,y,z,?) (1.24)
2.间接测量量的不确定度
假定直接测量量之间彼此独立，对式（1.24）全微分后有
dN??f?f?fdx?dy?dz?? ?x?y?z (1.25)
如果先对式（1.24）取对数后再进行全微分，则有
dN?lnf?lnf?lnf?dx?dy?dz?? N?x?y?z.16.
(1.26)
上面微分式中，dx,dy,dz,?可视为自变量的微小变化量(增量),dN是由于自变量微小的变化引起函数的微小变化量(函数增量)。
不确定度都是微小的量(与测量值相比)，与微分式中的增量相当。只要把微分式中的增量符号dN, dx, dy, dz,…换成不确定度的符号u,ux,uy,uz,?再采用“方和根”合成方式后就可以得到不确定的传播公式了。如果各直接测量量的不确定度相互独立，则用方和根合成后得到的不确定度的传播公式如下：
??f?2??f?2??f?2 uN???ux????y??uy???z?uz?? ?x??????222 (1.27)
u??lnf?2??lnf N???ux????yN??x??2?2??lnf?2??uy???z?uz??
???22 (1.28)
式（1.27）用于和差形式的函数比较方便，式（1.28）用于积商形式的函数比较方便。 常用函数采用方和根合成的传播公式如下表: 函 数 表达式 传播公式 函数表达式 2传播公式 22N?x?y uN?u?u 22N?x?y uN?ux?uy 2x2yk?2?m?2?n?2N?xy/z uN???uy???uz ??ux?????x??z??y?kmnN?kx ΔN1ux ?NkxuN?|cosx|ux N?kx N?xy uN?kux,uN/N?ux/x N?sinx uN/N?(ux/x)2?(uy/y)2 N?lnx uN?ux/x N?x/y uN/N?(ux/x)2?(uy/y)2 例 用单摆测量重力加速度的实验公式为
4?2lg?2
T并测得l=100.00cm, u1?ul?0.01cm, T=2.007s, u2?uT?0.002s，求测
.17.
量结果。
解：
g?4π2lT24?3.1422?100.00??980.1 cm/s2 22.007lng?ln4π2?lnl?lnT2
uE??g2??lng?2??lng?2u?uBT? Al??????l???T?22222?ul??2uT??0.01??2?0.002?????????????0.002 lT100.002.007????????u?E?g?2cm/s2
g?g?u?(980?2)cm/s2?(9.80?0.02)m/s2
（置信概率P=68.3%）
1.6 有效数字
一、有效数字基本概念 1．定义
测量结果中的可靠（准确）数字和一位可疑（欠准）数字统称为有效数字。 一般来讲，从仪器上准确读出的数字是可靠数字，误差所在位的估读数字是可疑数字。 例如用一最小分度为毫米的尺，测量一物体的长度为25.46cm，其中2，5和4是准确读出的，而末位“6”是估读得来的(也可能是5，7)，误差也在这一位,因此是不可靠的，叫做可疑数字。在测量的值中，还是保留它，因它还是近似地反映了这一位大小的信息。
2．注意要点
(1)有效数字的位数与小数点的位置无关，决定于仪器的测量准确度。 例如：25.46cm＝0.254 6m＝0.000 254 6km
尽管小数点的位置不同，但它们都是4位有效数字。
但用不同精度的仪器去测量会有不同的有效数字，上述物体如果用50分度游标卡尺测量为25.464cm，用螺旋测微计测量则为25.4640cm，有效数字位数越多，测量准确度就
.18.
越高，有效位数不能随意增减。
(2)“0”在数字中间或后面为有效数字(在数字前面不算)。 如0.204为3位有效数字，0.204 0为4位有效数字。
(3)书写有效数字要用科学记数法
±n
对较大或较小的数值，常用×10 的形式书写,如物体宽度为0.000 150m可表示为
-4
1.50×10 m。
二、不确定度的有效数字位数的取法
1．一般情况下，测量结果不确定度的有效数字只取一位，在一些精确测量和重要测量结果中，不确定的有效数字可取1～2位，这应视具体情况而定。
2．测量结果表达式中，测量结果的有效数字的末位数与不确定度的尾数对齐。 2
例1 g＝(981.2±1.8)cm/s ，L=(24.5±0.3)cm 3．相对不确定度的有效数字，一般只取1～2位。如： 0.31.8E =×100%≈1.2%、E = ×100%≈0.2% L24.5g981.2三、有效数字的运算
根据不确定度确定测量及运算结果的有效数字是处理有效数字问题的基本原则。但是在不计算不确定度的情况下，通常可按以下规则粗略得到运算结果的有效数字。
1．有效数字取舍（修约）原则
小于5则舍，大于5则入，等于5把前位凑偶数。 例2 将下面的数据修约成4位有效数字。
3.141 59→3.142 2.717 29→2.717 4.510.50→4.510
5.623 5→5.624 3.612 50→3.612
6.282 501→6.283（因0.000 501﹥0.000 5）
2．加减运算
加减运算后的有效数字，取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。 例3 20.1?4.178?24.278?24.3
19.68?5.848?13.832?13.83
也可以对上面的数据进行修正，在进行运算。
20.1?4.2?24.3，19.68?5.85?13.83
3．乘除运算
进行乘除运算时，其运算后结果的有效数字一般以参与运算各数中的有效数字位数最
.19.