设测量次数n为偶数，令k＝n／2，把上式分成两组，且各组数目相同。 1组
y1?ax1?b
y2?ax2?b?yk?axk?b(x2?x1?c)?[xk?x1?(k?1)c]
2组为
yk?1?axk?1?byk?2?axk?2?b?y2k?ax2k?b对应方程相减：
[xk?1?x1?kc][xk?2?x1?(k?1)c]?[x2k?x1?(2k?1)c]
?y1?yk?1?y1?a(xk?1-x1)?a(k)c?y2?yk?2?y2?a(xk?2-x2)?a(k)c
…
?yk?y2k?yk?a(x2k-xk)?a(k)c
Δya??Δx?(y?(xi?1i?1kkk?i?yi)??xi)?(yi?1kk?i?yi) (1.31)
KCk?i除上述条件外，符合下列条件也可用逐差法。 函数可以写成x的多项式形式，如：
y?a0?a1x?a2x2 y?a0?a1x?a2x2?a3x3
等。有些函数也可写成上述形式。
24?如弹簧振子的周期公式 T=2πm/k可写成T2=m，测量T2是m线性函数。
k逐差法特点：
1)逐差法比作图法精确，且简单易懂，运算方便，是物理实验中常用的数据处理方法。
.25.
2)能充分利用测量数据，绕过一些未知求出所需的物理量。如上例杨氏模量实验，由于钢丝不直，外加力F后，除了钢丝的伸长量?l，还有钢丝展直的伸展量?l，F＝a(?l+?l),而?F=a?(?l),使误差消除，测量值不受其影响。
3)验证测量量的函数关系，如果逐项逐差数值基本上为常数，说明测量量间为线性关系(二次逐差值基本为一常数，则为二次多项式)。
4)局限性，只限于自变量等间隔变化，直线斜率是求差分平均得到，精度也受到限制。
??1.9 最小二乘法
最小二乘法是一系列近似计算中最为准确的一种，采用最小二乘法能从一组同精度的测量值中确定最佳值。最佳值是各测量值的误差的平方和为最小的那个值，或能使估计曲线最好地拟合于各测量点，使该曲线到各测量点的偏差的平方和达到最小。最小二乘法的原理和计算都比较繁琐，这里仅介绍如何应用最小二乘法进行实验曲线的拟合。已知函数关系，确定未定参量最佳值的方法。
yi+++(xi ,yi )+xi图1-9 y-x拟合直线
x
设已知函数的形式为：
y?a0?a1x
(1.32)
式中 自变量只有x一个，故称一元线性回归。实验得到的一组数据为
x?x1,x2,?,xi y?y1,y2,?,yi
.26.
如果实验没有误差，把(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xi,yi)代入(1.32)式时，方程左右两边应该相等。但实际上，测量总存在误差，我们把归结为y的测量偏差，并记作
?1,?2,?,?i，如图1-9所示，这样式(1.32)就应改写成：
y1?a0?a1x1?ε1?y2?a0?a1x2?ε2?? ?i?1,2,?,n
??yi?a0?a1xi?εi?? (1.33)
根据误差理论可以推证：要满足以上要求，必须使各偏差的平方和为最小，即
????(y?a2iii?1i?1nn0?a1xi)2
(1.34)
为求
??i?1n2i的最小值，把（1.34）式对a0和x分别求偏微商
??a0?(yi?1ni?a0?a1xi)2?0
?n(yi?a0?a1xi)2?0 ??a1i?1即
??2?(yi?a0?a1xi)xi?0?? i?1? n?2?(yi?a0?a1xi)?0??i?1?由(1.35)式，有
n (1.35)
?xyii?1nni?a1?xi?a0?xi?0
2i?1i?1nnn?yi?1i?a1?xi?na0?0
i?1令：
.27.
x?得：
?xi?1nin,y??yi?1nin,x?2?xi?1n2in,xy??xyii?1nin
(1)回归直线的斜率和截距的最佳估计值
a1?xy?xyx?x22 (1.36)
a0?y?a1x
(2)各参量的标准误差 y测量值偏差的标准误差为
(1.37)
?y?Sy??(y?ax?a)i1i0i?1n2n?k (1.38)
式中 n为测量次数，k为未知量个数(此时k＝2)。 斜率a值的标准误差为
1
?a1?Sa1?Syx?x22 (1.39)
截距a值的标准误差为
0
?a0?Sa0?(3)检验
回归方程(1.32)的确定在于预先假定了xi，yi之间存在线性关系，但是这数据是否符合这种关系尚需进一步检验。
一般可通过计算相关系数?的方法来判断实验数据是否符合线性关系．对于一元线性回归?定义为：
x2Sa1
(1.40)
γ?2xy?xy(x?x)(y?y)222 (1.41)
.28.
?值总是在0与±1之间。?值越接近l，说明实验数据分布密集，越符合求得的直线，或说明用线性函数进行回归比较合理；相反，如果?值远小于1而接近于0，说明用线性函数回归不恰当，x与y完全不相关，必须用其他函数重新试探。?>0回归直线的斜率为正，称为正相关。?<0回归直线的斜率为负，称为负相关。
由于计算器（计算机）的普及，用最小二乘法处理数据已非常方便。将数据输入计算器（计算机）后，便可得出以上各量的值。
实验报告
实验题目
【实验目的及要求】
【实验仪器】
【实验原理】
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
【结论】（结果） 【小结】
实验报告说明
实验项目名称：要用最简练的语言反映实验的内容。要求与实验指导书中相一致。 实验目的与要求：目的要明确，要抓住重点，符合实验指导书中的要求。 实验仪器：写明所用仪器及主要仪器的型号。
.29.