过山车驶过竖直圆轨道
一列长为L的过山车由许多节车厢组成，以某一速度V0在水平轨道上行驶,然后进入半径为R的在竖直平面内的轨道。已知R比车厢的尺寸大很多，且L?2?R。求：
过山车在水平轨道上的速度V0应满足条件，才能使过山车安全的驶过竖直圆轨道。不计车与轨道间的摩擦。
解：由于不考虑摩擦，则整车运动中机械能守恒。列车进入竖直面内的圆轨道时，有部分车厢的位置升高，整车的重力势能逐渐增加，则车的动能将随之减少，车速也随之减小。设列车单位长度的质量为?，当整个圆轨
道上都分布有列车车厢时，这部分车厢较在水平轨道上时增加的重力势能为2?R?gR，此时列车的速度达到最小值，设其为V，则由机械能守恒定律，有
11?LV02??LV2?2?R2?g. （1） 22列车的安全行驶应不脱离竖直圆轨道，在竖直圆轨道内，列车最容易脱离轨道的是处于轨道最高点处的车厢。为研究列车在最高点处的运动情况，需分析处于最高点处列车的受力情况，位于最高点处的车厢与车厢之间有张力作用。为求这一张力，不妨如图二假想将运行中的列车断开，则断开后右部的车厢受到左部车厢的拉力T。又设在此拉力T作用下，右部车厢发生了一极小的位移?x，则此过程中拉力T对右部车厢做功T?x，以这一做功过程的前后两状态比较，相当于将整列车尾长?x的一段移至圆轨道的最高点处，其重力势能增加了??xg?2R，而列车的
速度不变，则其动能不变，可见上述重力势能的增加是由于拉力T做功的结果，乃有
T?x???xg?2R
即T?2?Rg （2）
只要车厢与轨道处于接触状态，轨道对车厢就有反作用力。轨道最高点对车的反作用力最小，在临界状态下，这一反作用力为零。此时处于这一位置的车厢仅受重力和两侧车厢拉力作用，而这几个力的合力则提供车厢作圆周运动的向心力。现就这一节车厢的运动情况
来进行研究，设有一节长为L（则其质量为m??L）的车厢处于轨道最高点，如图三，令其所对的轨道圆心角为?，则它两端所受张力T分别与水平方向的夹角为则此两张力的合力应为
?，由于?很小，2Ty?2Tsin
?2?2T??2?T?
又由图中可见应有??L，故得到 R
Ty?TL.R（3）
此时车厢在作圆周运动，由圆周运动向心力的公式，应有
V2Ty?mg?m，
R以m??L代入上式，即得
Ty??Lg??LV2R.
（4）
联立（1）（2）（3）（4），可得
V0?（3?4?R）Rg. L4?R）Rg，才能保证其安全地通过圆轨道。 L即列车初速度应不小于（3?求解三球系统的碰撞情况一例
三个钢球A、B、C由轻质的长为L的硬质杆连接，竖立在水平面上，如图一所示，已知三球质量为mA?2m,mB?mc?m,距杆a?52L处有一面竖直墙。因受微小扰动，8两杆分别向两边滑动，使B球下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比L小很多，求：
B球落地瞬间三球的速度大小。 解：（1）求碰撞前三球的位置
视ABC三者为一系统，则AC在水平面上滑动
时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图二表示C球刚好要碰撞前三球的位置。以?表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为?，并令BA杆上的M点与系统的质心的水平坐标相同，则应有
mA?AMcos??mBMBcos??mc(MB?BC)cos?
故得，MB?1LAB?. （1） 44由上述知M点的水平坐标应与原来三球所在位置的水平坐标相同，故知此刻M点与
右侧墙面的距离即为a，即M点与C球的水平距离为a，由此有
MB?cos??BC?cos??a,
即
L52cos??Lcos??L. 48由上式，得
cos??2，故有 2??450 （2）
（2）求碰墙前三球的速度
由于碰墙前M点的坐标不变，则在AC沿水平面滑动的过程中的任意时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的的速度，则有
5倍，可见任何时刻35倍。以VA、VB、Vc分别表示图二中三球35Vc?VA3（3）
又设VB沿BC方向的分量为
VBC，则由于VB和Vc分别为杆BC
两端的速度，则此两速度沿杆方向的投影应该相等，即
VBC?Vc?cos?
再设VB沿BA方向的分量为VBA，同理可得
VBA?VAcos?
注意到BA和BC两方向刚好互相垂直，故得VB的大小为
222VB?VBC?VBA?VC2?VAcos?
以（2）（3）两式代入上式，得
VB?17VA. （4） 9由于系统由图一状态到图二状态的机械能守恒，有
111mBgL?mBg?Lsin??mAVA2?mBVB2?mcVc2
222将（1）（2）（3）（4）代入上式，解得
VA?32(1?)gL.102
（5）
（3）求C球刚碰墙后三球的速度
如图三所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结
?果是：B球速度沿BC方向的分量VBC与C球速度沿CB方向的分量相等，
即
??Vc?cos??Vccos? （6） VBC由于BC杆只传递沿其杆身方向的力，故B球沿垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为VA。故得此时B球
?满足 速度沿BA方向的分量VBA??VAcos? （7） VBA得，刚碰墙后B球速度的大小为
??VBC?2?VBA?2?Vc2?VA2cos??VB（4）求B求落地时三球的速度大小
17VA （8） 9碰后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量VMx应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则VMx应保持不变，由上解得的三球速度，可
得VMx应该满足
?cos??VBA?sin?)?mcVc? (mA?mB?mc)VMx?mAVA?mB(VBC以（3）（5）（6）（7）代入上式，解得
51VMx?VA?15(2?2gL) （9）
48当B球落地时，ABC三球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量VMx.而B球刚要落地时，AC两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，以VB落表示此刻B球速度的大小。则由图三所示的状态到B球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有
111?2?mcVc?2?mbgLsin??mAVA2?mBVB222
11122mAVMX?mBVB2落?mcVMx.222以（9）（8）（5）式代入上式，解得
VB落?1（38?452）gL （10） 8考虑小物体向右的倾倒
如图一，长度为L的轻杆上端连着一质量为m的体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接于水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰与B接触，立方体C的质量为M。今作微小扰动，使杆向右倾倒，设B与C，C与水平地面间均无摩擦，而B与C刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为
?，求： 6B、C的质量之比。
解：B、C分离前，B对C有作用力，使C沿水平方向加速,且两者相接触时，两者在水平方向上的速度总是相等。在水平方向上的加速度也总是相等。直至B、C分离瞬间，B与C在水平方向上的速度还相等，水平方向的加速度也相等，且其间应刚好无相互作用力。由于其间无相互作用力，可见此刻C的加速度为零，则B的加速度的水平分量为零。则杆对B的作用力的水平分量必为零，由于杆为轻杆，它对B如有作用力则必沿杆身方向，而其水平分量要为零。故可肯定此刻杆对B的作用力为零。
现以B球为研究对象，如图二，设此刻B球的速度大小为V，杆与水