的支持力NDA。设碗面球心为D，则NDA必沿AD连线方向，如图三所示，用?表示图中的
?ADC，由于G，NCA，NDA三力的合力为零，则表示此三力的矢量应组成一个封闭三角
形如图四，由图可得
2NDA?(NCA2)2?(G?NCA2)2，
解，得
NDA?26G. 4由因图四表示三力的矢量所组成的三角形应与图三中?DCA相似，有
DANDA?。 ACNAC以a0表示此时碗的半径，显然有a0?DA?R，又由前已经解得
NAC?N?G22,
将其分别代入上式，则上式变为
a0?R?2R解，得
26G4 G22a0?(213?1)R.
以上解得的a0为系统临界平衡时对应的碗面半径，也可以理解为碗面半径的诸多可能值中的一个临界值，当碗面半径较a0增大时，图三中碗面对球A的支持力的作用点将自E点向右移至新的支持点E?，这样，A球所受重力G和弹力NCA两力的合力对E?点的力矩不为零，使A球将向左侧转动，由此，四球将分开，原平衡将被破坏。反之，当碗面半径较a0减小时，碗面对球A的支持力的作用将自E点向左移至新的支持点E??，这样，A球所受重力G和弹力NCA两力的合力对E??点的力矩不为零，使A球将向右侧转动，由此，下面的四球之间将出现弹力而阻止上述转动的发生，原来的平衡得以维持。显然，碗口半径太小时，其上是无法放上四球而平衡的，对应于能使四球在碗口上面平衡的碗口半径最小的情况，应为碗口边缘刚好能支于图三中的E、F两点，即此时EF两点间的距离为碗口的直
径。
?表示此时碗口的半径，则由图三可得 以a0??a01EF?DEsin? 22NCAsin4502221而sin????,
NDA26G264?注意到此时DE?a0?(213?1)R,代入前式便得
G??a0故得
(213?1)R26?262?26R.
26??a?a? a0即
(213?1)R?a?262?26R.
26考虑使载有圆柱体的小车匀速运动的情况
重为G的圆柱位于可动的水平平面与固定的倾角为?的斜面之间，如图一所示，圆柱体与水平面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为?1，圆柱体与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为?2.为使水平面能向左匀速运动，至少要对它施以多大的力？不考虑圆柱以外的物体施于水平面的阻力。
解：如图二，由于水平面向左匀速运动，圆柱有随之运动的趋势，由于受到斜面的限制，圆柱不能随水平板一起向左运动，由此圆柱受到水平板的方向向左的摩擦力f1的作用。在图二所示的位置时，圆柱的运动状态只可能是以下三中形式中的一种，即：（1）圆柱与水平面的接触点B处不发生滑动，即圆柱沿顺时针方向绕B点作无滑滚动，由于水平板的
运动是匀速的，则此时圆柱体的转动也是匀速的；（2）圆柱与斜面的接触点C处不发生滑动，而圆柱与水平面的接触点B处发生滑动，此时圆柱处于静止状态（当然圆柱也没有转动）；（3）圆柱在B点和C点处均不发生滑动，这时圆柱也是处于静止状态，且圆柱下的水平面也被“卡死”而不能发生运动。以上三种情况下，圆柱均处于平衡状态（静止或匀速转动），均可根据圆柱所受合力矩为零的条件定出斜面对圆柱体的摩擦力f2方向应沿斜面向下。故得这三种情况下圆柱体的受力如图二所示:其中G为圆柱体的重力，N1和f1为水平面对圆柱体的弹力和摩擦力，N2和f2为斜面对圆柱体的弹力和摩擦力。
对于圆柱体，以O点为转轴时其转动平衡方程为
f1R?f2R，
式中R表示圆柱的半径。可见f1与f2大小相等，以f表示之，则有
f1?f2?f (1)
对圆柱体以A点为转轴列转动平衡方程，为
N1?AB?N2?AC?G?AB
由于AB=AC，则上式变为
N1?N2?G
对圆柱体列其水平方向受力平衡的方程，为
f1?f2cos??N2sin?
故得，f?(1)
N2sin? （3）
1?cos?现就B处无相对滑动而C处有相对滑动的情况入手进行讨论，此时相当于圆柱在水平板上作沿顺时针方向的无滑滚动。以B点为转轴，圆柱能发生顺时针方向转动的条件是N2和f2对B点的合力矩应沿顺时针方向，即
N2对B点的力矩值应大于f2对B点的力矩值，为
N2?AB(1?cos?)?f2?ABsin?
即
f21?cos?sin??? N2sin?1?cos?（4）
而
f2??2，可见即当 N2?2?sin?
1?cos?时，任意大小的N2和f2都可以保证（4）式的成立，这时，不管?1为多大，也不管对水平板施加多大的外力F，均可使圆柱在水平板上作无滑滚动。显然，为使水平板维持匀速运动的最小外力是F=0. 若?2?sin?，则由N2和f2作用于圆柱的力矩将要求圆柱绕B点沿顺时针方向转
1?cos?动，显然，这是不可能的。即在这种情况下，在C点处圆柱与斜面之间不可能再发生相对运动了。 （2）在?2?sin?时，设在B点发生相对滑动，则有
1?cos?f1??1N1 （5）
由（2）（3）（5）式，有
?1(N2?G)?N2sin?，
1?cos?所以，N2??1G
sin???11?cos?令??*sin?，则上式可以写为
1?cos?N2??1???1**G. （6）
若?1??，则N2为某一正值，表明上述假设在B点发生相对滑动（此时在C点处无相对滑动）是成立的。此时拉水平板匀速前进的力F与f1大小相等，由（3）式和（6）式，有
?1?*F?f??N2?*G，
???1*所以，F??1sin?G.
sin???1(1?cos?)若?1??，由（6）式可见N2无意义或为负值，结合本题实际表示的是在B点不可能发生相对滑动，由前述这时在C点也不能发生相对滑动。即此时水平板已被“卡死”，
*不管用多大的水平力都不可能使它沿水平方向向左作匀速运动了。 （3）综合上述，本题的答案为：
sin?，则不管?1为何值，均有F=0;
1?cos?sin?sin?若?2?，且?1?，则
1?cos?1?cos?若?2?F??1sin?G.；
sin???1(1?cos?)sin?sin?，且?1?，则无论用多大的水平力均不可能使水平板向左
1?cos?1?cos?若?2?作匀速运动。
求解挡板给圆柱的最大外力
如图一，质量为m的n（n>3）个均匀圆柱体，依次搁置在倾角为30的斜面上，并以铅垂设置的挡板挡住，挡板长L，其下端以铰链固定，挡板可绕其下端自由转动。圆柱体的半径为R，各圆柱体与斜面间的静摩擦因数均为??01,而各圆柱体之间的摩擦则可忽略不计。3今以水平力P作用于挡板的上端而维持此系统的平衡，试求： P的最大值为多少?
解：此系统平衡时，有两种可能的状态是：当P值较小时，挡板有逆时针转动的趋势，则圆柱1相对于挡板和斜面都有向下运动的趋势，于是挡板对圆柱有沿板面向上方向的静摩擦力作用，斜面对圆柱有沿斜面向上方向的静摩擦力作用。当P值较大时，挡板有顺时针转动的趋势，则圆柱1相对于挡板和斜面都有向上运动的趋势，此时挡板对圆柱有沿板面向下方向的静摩擦力作用，斜面对圆柱有沿斜面向下方向的静摩擦力作用。在后一种可能情况中，当达到临界情况（即上述的两个静摩擦力中有一个达到最大静摩擦力或者是两个同时都达到最大静摩擦力）时，对应的P值即为维持系统平衡的P的最大值。
设系统已处于上述的临界状态，现取第1圆柱为研究对象来研究：自己的重力G，挡板对它的摩擦力fA，弹力NA；斜面对它的摩擦力fB，弹力NB；第二圆柱对第1圆柱的弹力F，F的方向平行于斜面向下。其余各力的方向均如图所示。
由于第一圆柱处于平衡，则它所受各力对任一转轴的合力矩都应为零，现取此圆柱的中心轴线（过图中O点）为转轴，列出力矩平衡方程
fAR?fBR，即fA?fB. （1）