第八章 假设检验
﹡第六章 假设检验
§1假设检验的基本思想 一. 引例 二. 假设检验的一般步骤 三. 两类错误
§2 单个正态总体参数的假设检验 一. U检验法 二. t检验法 ?2检验
第 22、23 次课 4 学时 第八章
假设检验
一. 教学基本要求 1．理解显著性检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误。知道两类错误概率，并在较简单的情况能计算两类错误概率，掌握假设检验的基本步骤。
2．了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。 3．了解总体分布假设的拟合优度检验法。
本章重点：正态总体的参数的假设检验。
二. 内容提要
1．假设检验的基本概念
假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法。方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时，就会反映与总体理论假设的真实差异，从而拒绝理论假设。
原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画，一般都是根据实际问题的需要以及相关的专业理论知识提出来的。通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的。
检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据与期望数之间的差异程度。要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。检验的名称是由使用什么统计量来命名的。
否定论证是假设检验的重要推理方法，其要旨在：先假定原假设成立，如果导致观察数据的表现与此假定矛盾，则否定原假设。通常使用的一个准则是小概率事件的实际推断原理。
2．两类错误概率。第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率；第二类错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率。
3．显著水平检验。在收集数据之前假定一个准则，即文献上称之为拒绝域，一旦样本观察值落入拒绝域就拒绝原假设。若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率不超过事先设定的，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平的检验，而称为显著水平。由定义可知，所谓显著水平检验就是控制第一类错误概率的检验。
4．单正态总体参数检验
我们以单正态总体均值
检验为例，即假定总体
。
已知，检验
(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设其中
已知。
的估计
，提出检验统计量
(2) 基于
满足如下要求： (a) 在
下，
的分布完全已知，此处
； 偏大时与
(b) 由可诱导出与背离的准则，此处当(3) 对给定水平，构造水平检验的拒绝域 其中
为标准正态分布的
-分位点。
背离。
(4) 基于数据，算出的观察值，如因此检验使用统计量，称之为-检验。
当
未知时，改检验统计量
为
则拒绝，否则只能接受.
其中为修正样本标准差。相应的拒绝域为
为自由度的分布的
5 两个正态总体参数的检验 设
是取自正态总体的样本，且
，
-分位点。其他的检验步骤相同。
的样本，相互独立。记
，。
是取自正态总体
（1）。
当已知时，拒绝域为
当
未知，但
时，拒绝域为
；
（2）当
已知时，拒绝域为
。
其中 当 其中
。
。
未知时，拒绝域为
6 值和值检验法
值是在原假设成立条件下检验统计量出现给定观察值或者比之更极端值的概率，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度，因而也称值为拟合优度。例如在正态总体参数检验计量为，观察值为，则
值检验法的原则是当结果为显著；当
值为
值小到一定程度时拒绝
.
，通常约定：当
称
的情况，检验统
，则称结果为高度显著。
学习要点
本章内容涉及概念及方法两大部分，要求理解和掌握假设检验的一些基本概念，如两类错误概率，否定论证原理，显著水平。弄清显著水平检验的确切含义，掌握单正态总体检验的基本方法。
习题解答
1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受
时，可能犯什么错误？
在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝时，可能犯什么错误？ 解 (1) 犯拒真的错误，即第一类错误；(2) 犯采伪的错误，或者说第二类错误。
2. 某厂生产的化纤纤度服从正态分布，测得25根纤维的纤度，其样本均值，试用值法检验总体均值是否为1.40.
解 原假设 值
，统计量 ，所以
值为
，观察
因此不能拒绝，即可以认为
3. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布，现安装一台新机器，观测到九周的周开工成本的样本平均元，假定标准差不变，试用值法检验周开工平均成本是否为100的假设。 解 故值为： 故拒绝
4. 设试给出显著水平
， 统计量
， 观察值
，
是高度显著，即
是取自的检验的拒绝域
的一个样本观察值，要检验假设：
.
解
5. 某纤维的强力服从正态分布，原设计的平均强力为6g，现改
进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本平均为6.35g，总体标准差假定不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高（）？
解 设原假设临界值
今计算
值为
， 备选假设 ， 拒绝域为
， 统计量
，
因而拒绝，即认为改进工艺后强力有显著提高。
6. 监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度（单位：mg/l）记录了30个数据，并由此算得试在显著水平
解 统计量 今
，
，已知这条河流每日的DO浓度服从
下，检验假设
， 拒绝域为
，
，.
. 计算值为：
因而不能拒绝.
7. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个作寿命测试，得数据（单位：h）：使用寿命服从
，并由此算得
，
，已知这种电子元件的
h以上，试在显著水平
，
下，检
.
，且出厂标准为
验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设
解 首先
所以修正样本标准差的观察值
，统计量的观察值为
临界值 因 ，不落入拒绝域，不能拒绝 8. 随机地从一批外径为1cm的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度(单位:kg)，得数据别检验：
(1) (2)
解 (1) 拒绝域
，并由此算得
，其中
，；. .
.
的观察值为
，在显著水平下分
所以拒绝.
，
，
(2) 拒绝域 其中 今
的观察值为
，因而不能拒绝.