绝对值定值、最值探讨
中考要求
内容 绝对值
基本要求
略高要求 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 较高要求 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 例题精讲
板块一：绝对值几何意义
当x?a时，x?a?0，此时a是x?a的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a?b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．
一、绝对值定值探讨
【例1】 若x?1?x?2?x?3?【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】要使式子的值为常数，x得相消完，当1004≤x≤1005时，满足题意． 【解答】1004≤x≤1005
【巩固】 若2a?4?5a?1?3a的值是一个定值，求a的取值范围. 【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
?x?2008的值为常数，试求x的取值范围．
【解析】要想使2a?4?5a?1?3a的值是一个定值，就必须使得4?5a?0，且1?3a≤0，
14 原式?2a?4?5a?(1?3a)?3，即≤a≤时，原式的值永远为3.
3514【解答】≤a≤
35
【巩固】 如果对于某一给定范围内的x值，p?x?1?x?3为定值，则此定值为 ． 【考点】绝对值定值探讨 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第17届希望杯培训试题
【解析】利用绝对值的几何意义解答．零点?1、3把数轴分成分成3段，容易发现当?1?x?3这个区间时
p?x?1?x?3为定值4，当x??1或x?3时，有p?x?1?x?3?4．
【解答】当x??1或x?3时
【例2】 已知x?1?x?1?2，化简4?2?x?1． 【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】第16届希望杯培训试题
【解析】由x?1?x?1?2的几何意义，我们容易判断出?1≤x≤1．
所以4?2?x?1?4?2?1?x?4?3?x?4?3?x?1?x?1?x．
【解答】1?x
【例3】 已知代数式x?3?x?7?4，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．
A． 1，x，5 B． 2，x，5 C． 3，x，5 D． 3，x，4
【考点】绝对值定值探讨 【难度】3星 【题型】
【关键词】第18届希望杯培训试题
【解析】根据x?3?x?7?4可得3?x?7，所以选择C． 【解答】C
【例4】 是否存在有理数x，使x?1?x?3?2？
【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】分类讨论 【解析】略
【解答】不存在
【巩固】 是否存在整数x，使x?4?x?3?x?3?x?4?14？如果存在，求出所有整数x，如果不存在，
请说明理由
【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略
【解答】x??3，x??2，x??1，x?0
【例5】 将200个数1~200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为a1?a2?组从大到小排列，设为b1?b2?【考点】绝对值定值探讨 【难度】6星 【题型】 【关键词】
【解析】设k是1~100中任意一个数，如果ak≤100且bk≤100，那么在第一组中不大于100的数至少有a1、
a2、…、ak这k个数，在第二组中不大于100的数至少有bk、bk?1、…、b100这(101?k)个数，则不
?b100，求代数式a1?b1?a2?b2??a100，另一
?a100?b100的值．
大于100的数至少有101?k?k?101个，这不可能．因此ak与bk这两个数当中较大的一个一定大于
100，所以代数式a1?b1?a2?b2??a100?b100
?(101?102??200)?(1?2??100)?(101?1)?(102?2)?【解答】10000
?(200?100)?100?100?10000
二、绝对值最值探讨
【例6】 设y?x?b?x?20?x?b?20，其中0?b?20,b?x?20，求y的最小值. 【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2006年，七台河市中考题
【解析】y?x?b?x?20?x?b?20?x?b?(x?20)?(x?b?20)?40?x，
则x?20时，y有最小值为20.
【解答】20
【巩固】 已知x?2，求x?3?x?2的最大值与最小值． 【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】北京市中考题
【解析】法1：根据几何意义可以得到，当x??2时，取最大值为5；当x?2时，取最小值为?3．
法2：找到零点3、?2，结合x?2可以分为以下两段进行分析： 当?2?x?2时，x?3?x?2?3?x?x?2?1?2x，有最值?3和5；
当x??2时，x?3?x?2?3?x?x?2?5；综上可得最小值为?3，最大值为5． 【解答】最小值为?3，最大值为5．
【例7】 已知0?a?4，那么a?2?3?a的最大值等于 ． 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第10届希望杯2试
【解析】（法1）：我们可以利用零点，将a的范围分为3段，分类讨论
（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性） （1）当0?a?2时，a?2?3?a?5?2a，当a?0时达到最大值5； （2）当2?a?3时，a?2?3?a?1
（3）当3?a?4时，a?2?3?a?2a?5，当a?4时，达到最大值3 综合可知，在0?a?4上，a?2?3?a的最大值为5
（法2）：我们可以利用零点，将a的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当a?0时达到最大值5．
【解答】5
【巩固】 如果y?x?1?2x?x?2，且?1≤x≤2，求y的最大值和最小值
【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】当?1≤x?0时，有y?x?1?2x?x?2?2x?3，所以1≤y?3；
当0≤x≤2时，有y?x?1?2x?x?2?3?2x，所以?1≤y≤3 综上所述，y的最大值为3，最小值为?1
【解答】y的最大值为3，最小值为?1
7【巩固】 已知?5?x?，求x取何值时x?1?x?3的最大值与最小值．
9【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2001年，大同市中考题
【解析】法1：x?1?x?3表示x到点1和?3的距离差，画出数轴我们会发现当，x?差最小为?7时两者的距离 93232，即?x?1?x?3?min??；当?5?x??3时，两者的距离差最大为4，即99(x?1?x?3m)ax?4．
法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，
7732时，x?1?x?3??2x?2，当x?有最小值?；999732当x??3有最大值4．综上所得，当?5≤x≤?3时，最大值为4；当x?时，最小值为?．
99732【解答】当?5≤x≤?3时，最大值为4；当x?时，最小值为?．
99
【例8】 已知x≤1，y≤1，设M?x?1?y?1?2y?x?4，求M的最大值和最小值
当?5?x??3时，x?1?x?3?4；当?3?x?【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号
因为x≤1，所以?1≤x≤1，所以0≤x?1≤2，同理可得0≤y?1≤2 因为y≤1，所以?1≤y≤1，所以?2≤2y≤2⑴
因为x≤1，所以?1≤x≤1，所以?1≤?x≤1，所以?1?4≤?x?4≤1?4 即?5≤?x?4≤?3⑵
⑴与⑵同向相加得?7≤2y?x?4≤?1 化简M的表达式：M?2x?y?6