求M的取值范围：
因为?1≤y≤1，所以?2≤2x≤2 因为?1≤y≤1，所以?1≤?y≤1 所以?3≤2x?y≤3 所以3≤2x?y?6≤9
当x?1，y??1时，M最大值为9 当x??1，y?1时，M最小值为3
【解答】M最大值为9；M最小值为3
【巩固】 已知m是实数，求m?m?1?m?2的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】数形结合
【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使点m到点0，点1和点2的距离之和最小，显然当m?1时，原式的最小值为2
【解答】2
【巩固】 已知m是实数，求m?2?m?4?m?6?m?8的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】数形结合
【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使m到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8
【解答】8
a2，a3，...an是常数（n是大于1的整数）【例9】 设a1，，且a1?a2?a3?...?an，m是任意实数，试探索求
m?a1?m?a2?m?a3?...?m?an的最小值的一般方法
【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】数形结合
【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：
⑴当n为奇数时，即当n?2k?1（k为正整数）时，点m应取在点ak?1处，原式的值最小，最小值为?a2k?1?a1???a2k?a2??...??ak?2?ak?
⑵当n为偶数2k（k是正整数）时，m应取点ak和点ak?1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为?a2k?a1???a2k?1?a2??...??ak?1?ak?
【答案】根据题意，结合数轴，不难得到：
⑴当n为奇数时，即当n?2k?1（k为正整数）时，点m应取在点ak?1处，原式的值最小，最小值为?a2k?1?a1???a2k?a2??...??ak?2?ak?
⑵当n为偶数2k（k是正整数）时，m应取点ak和点ak?1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为?a2k?a1???a2k?1?a2??...??ak?1?ak?
【巩固】 x?1?x?2?【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】数形结合
【解析】当x?1005时，x?1?x?2?x?1?x?2??x?2009取到最小值：
?x?2009的最小值为 ．
?x?2009?1005?1?1005?2??1005?2009
?x?a2n?1取得最小值．
?x?a2n取得最小值．
?1004?1003?点评：若a1?a2?若a1?a2??1?0?1??1003?1004?(1004?1)?1004?1009020
?a2n?1，当x?an?1时，x?a1?x?a2??a2n，当x满足an≤x≤an?1时，x?a1?x?a2?【解答】
【巩固】 试求x?1?x?2?x?3?...?x?2005的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】数形结合
【解析】联想到绝对值的几何意义：x?xn即表示数轴上数x的对应点与数xn的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现x?1?x?2，当1≤x≤2时，它有最小值1，对于x?1?x?2?x?3，当x?2时，最小值为2，…猜想当x?1003时，原式有最小值
最小值为?x?1?x?2?x?3?...?x?2005
?1003?1?1003?2?1003?3?...?1003?2005 ?1002?1001?1000?...?2?1?0?1?2?...?1002
1002??1002?1? ?2??1005006
2【解答】1005006
【例10】 设a?b?c，求当x取何值时x?a?x?b?x?c的最小值． 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2000年，郑州市中考题
【解析】x?a?x?b?x?c实际表示x到a，，画图可知当x?b时，原式有最小值为c?a． bc三点的距离和，【解答】c?a
【例11】 正数a使得关于x的代数式x?1?x?6?2x?a的最小值是8，那么a的值为 ． 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】数形结合
【解析】如果a≤6，那么当x?a时，x?1?x?6?2x?a?a?1?a?6?(a?1)?(6?a)?7，
小于8与已知条件矛盾．所以a?6，那么算式x?1?x?6?2x?a的几何意义是点x到?1、6、a、a的4个距离之和，当6≤x≤a时取最小值，因此令x?6可得7?26?a?8，解得a?13． 2【解答】
13 2
【例12】 若x1、x2、x3、x4、x5、x6是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记
S?|x|x6?x，则S的最小值是 ． 1?x2|?|x2?x3|?|x3?x4|?|x4?x5|?x5?x6?1|【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2009年，全国初中数学联赛四川初赛试卷 【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：
利用绝对值的几何意义|x1?x2|?|x2?x3|?|x3?x4|?|x4?x5|?x5?x6?|x6?x1|在数轴上表示出来，从x1开始又回到x1，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．
123456
【解答】10
【例13】 在数轴上把坐标为1，，，23...，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到
出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由 【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】
【关键词】2006年，山东竞赛试题
x2，x3，...，x2006，x1，整个跳过的路径长度为 【解析】设青蛙依次到达的点为x1， S?x1?x2?x2?x3?x3?x4?...?x2006?x1
≤2?1004?1005?...?2006??2?1?2?3?..?1003??2?10032 故青蛙跳过的路径的最大长度为2?10032
【解答】2?10032
【例14】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为4、
10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
城市ABGCDEF
【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】因为村庄G是AF的中点，所以村庄G到城市的距离为12千米，即村庄G在村庄B、C之间，7 个
村庄依次排列为A、B、G、C、D、E、F．设活动中心到城市的距离为x千米，各村到活动中心的距离之和为y千米，则：y?x?4?x?10?x?12?x?15?x?17?x?19?x?20因为
4?10?12?15?17?19?20，所以当x?15时y有最小值，所以活动中心应当建在C 处．
【解答】C处
【例15】 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使这5台机床到
供应站P的距离总和最小，点P建在哪？最小值为多少？
A-1B1C2D4E8
【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设供应站P在数轴上所对应的数x，则5台机床到供应站P的距离总和为
x?(?1)?x?1?x?2?x?4?x?8，当x?2时，原式值最小为12．
即供应站P建在点C处，这5台机床到供应站P的距离总和最小为12．
【解答】12
【例16】 （6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂A1，A2，…，A7分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
A7A6A4A3A2BEPFA5DCA1
【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重
复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B、C、D、E、F）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，即车站设在D点最好．若在P处再建一个工厂，则车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．
【解答】车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．
【例17】 先阅读下面的材料，然后回答问题：
在一条直线上有依次排列的n?n?1?台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机
床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。
如图乙，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，
因此P放在A2处是最佳选择
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置
问题⑴：有n台机床时，P应设在何处？
问题⑵：根据问题⑴的结论，求x?1?x?2?x?3?...?x?617的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】数形结合，山东省烟台中考 【解析】⑴当n为偶数时，P应设在第
位置
⑵根据绝对值的几何意义，求x?1?x?2?...?x?617的最小值，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，...，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x?309时，原式的值最小，最小值是
nn?1?n?台和??1?台之间任何地方；当n为奇数时，P应设在第台的22?2?
309?1?309?2?...?309?308?0?309?310?309?311?...?309?616?309?617
?308?307?...?1?1?2?...?308?95172
n?1【解答】（1）P应设在第台的位置；（2）95172
2
【例18】 不等式x?1?x?2?7的整数解有 个．
【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第17届希望杯培训试题
【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，x?1?x?2?7的整数解表示数轴上到?1和
2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有?2、?1、0、1、2、3共六个．
【解答】6
【例19】 一共有多少个整数x适合不等式x?2000?x?9999. 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】分类讨论
【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：
（1）当x?2000时，原不等式变形为：x?2000?x?9999， 进而得：x?5999.5，即2000?x?5999.5，共有4000个整数适合；
（2）当0?x?2000时，原不等式变形为：2000?x?x?9999，而2000?9999恒成立， 所以又有2000个整数适合.
（3）当x?0时，原不等式变形为2000?x?(?x)?9999，x??3999.5， 即?3999.5?x?0，共有3999个整数适合.
综上所得共有9999个整数适合不等式x?2000?x?9999.
【解答】9999
【例20】 彼此不等的有理数a，，bc在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果a?b?b?c?a?c，那么A，
B，C的位置关系是_____．
【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星