②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定． (3)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球 绕地球公转一周为一月(27.3天)等.
考点三 卫星的发射和变轨问题 授课提示：对应学生用书第57页
1．第一宇宙速度(环绕速度)
v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度，还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
2．第二宇宙速度(脱离速度)
v2＝11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 3．第三宇宙速度(逃逸速度)
v3＝16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
1．第一宇宙速度的两种计算方法 vMm
(1)由G2＝m得v＝RRv2
(2)由mg＝m得v＝gR.
R2．卫星变轨的分析
(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行．
v22π?2Mm
(2)变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，G2＝m＝mω2r＝m??T?r. rr
v2Mm
①当卫星的速度突然增大时，G2＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做
rr离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝ GM可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加； r
v2Mm
②当卫星的速度突然减小时，G2＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将
rr做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝
GM
可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小． r
2
GM. R
1．(多选)(2015·高考广东卷)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1.下列说法正确的有( )
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 v2Mm
解析：由G2＝m得，v＝
RR
GM，2v＝R
2GM，可知探测器脱离星球所需要的R
Mm
发射速度与探测器的质量无关，A项错误；由F＝G2及地球、火星的质量、半径之比可R知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B项正确；由2v＝2GM可知，R
探测器脱离两星球所需的发射速度不同，C项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能增大，D项正确．
答案：BD
2.(多选)2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点．下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是( )
A．发射速度一定大于7.9 km/s
B．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大
C．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度 D．在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度
解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，A正确．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大，选项B正确．“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，选项C正确．在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P的加速度，D错．
答案：ABC
3.(2016·成都石室中学二诊)如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A、B、C，在某一时刻恰好在同一条直线上．它们的轨道半径之比为1∶2∶3，质量相等，则下列
说法中正确的是( )
A．三颗卫星的加速度之比为9∶4∶1
B．三颗卫星具有机械能的大小关系为EA＜EB＜EC C．B卫星加速后可与A卫星相遇
D．A卫星运动27周后，C卫星也恰回到原地点
MmGM111
解析：根据万有引力提供向心力G2＝ma，得a＝2，故aA∶aB∶aC＝2∶2∶2rrrArBrC
111
＝2∶2∶2＝36∶9∶4，故A错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故123机械能越大，故EA＜EB＜EC，故B正确；B卫星加速后做离心运动，轨道半径要变大，不Mm4π2
可能与A卫星相遇，故C错误；根据万有引力提供向心力G2＝m2r，得T＝2π
rTTA所以＝TC
r3，GM
rA31
，即TC＝27TA.若A卫星运动27周后，C卫星也恰回到原地点，则3＝rC27
C的周期应为A的周期的27倍，故D错误．
答案：B
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨
道上的运行速度变化由v＝
GM
判断． r
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度.
考点四 天体运动中的双星或多星模型 授课提示：对应学生用书第58页
1.模型构建
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． 2．模型条件
(1)两颗星彼此相距较近．
(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动． 3．模型特点
(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．
(2)“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． (3)“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．
1．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.C.n3T k2n2T k
B. D.
n3T knT k
解析：设两颗双星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据万有m1m24π2m1m24π2
引力提供向心力可得G＝m1r12，G＝m2r22，联立两式解得m1＋m2＝
TT?r1＋r2?2?r1＋r2?24π2?r1＋r2?34π2?r1＋r2?32
，即T＝，因此，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离
GT2G?m1＋m2?变为原来的n倍时，两星圆周运动的周期为T′＝
n3T，B正确，A、C、D错误． k
答案：B
2．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 a
B．四颗星的轨道半径均为
2Gm
C．四颗星表面的重力加速度均为2
RD．四颗星的周期均为2πa
2a
?4＋2?Gm
解析：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为
2
a，故A正确，2
mm′Gm
B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G2＝m′g，解得g＝2，故C
RRGm22Gm24π22a
正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m2·，T＝2πa
a2T2?2a?2故D正确．
答案：ACD
3.如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点．A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m1、m2.
2a
，
?4＋2?Gm
(1)求B的周期和速率．
(2)A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′.(用m1、m2表示)
解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的周期T、角速度ω都相r1m2
同，根据牛顿第二定律有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，即＝.故B的周期和速率分别为：
r2m1m1r1m1v
TB＝TA＝T，vB＝ωr2＝ω＝.
m2m2
m1＋m2
(2)A、B之间的距离r＝r1＋r2＝r，根据万有引力定律有
m21