2014年高考模拟试卷(1)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
2，则a?b的值是 ． ?a?bi（i是虚数单位）
1?i2. 若全集U?R，集合A?{x|?3?x?1}，AB?{x|?3?x?2}，则BeUA? ． 3. 平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M
取自?ABE内部的概率为 ．
4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．
T←1
I←3 While I<50
T←T +I
I←I +2
End While
Print T （第4题图）
（第5题图）
5. 运行如图语句，则输出的结果T? ． 1. 设a，b是实数，若
6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
S4?4，则S8? ． S2S47. 若关于x的不等式2x2?3x?a?0的解集为?m,1?，则实数m? ．
8. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6，BC?23，则棱锥
O?ABCD的体积为 ．
9. 已知锐角A，B满足2tanA?tan(A?B),则tanB的最大值为 ．
x2y210. 已知双曲线C: 2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与圆(x?2)2?y2?1相交，则双曲线
abC离
心率的取值范围是 ．
??11. 设函数f(x)?2sin(x?)(?2?x?10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数 63f(x)的图像交于另外两点B、C.O是坐标原点，则(OB?OC)?OA? ．
??x?y?0????12. 当对数函数y=logax(a>0且a?1)的图像至少经过区域M=?(x,y)?x+y?8?0?内的一个
????y?3?0??点
时，实数a的取值范围为 ．
sin2a3?cos2a3?cos2a3cos2a6?sin2a3sin2a613. 设等差数列{an}满足?1，公差d?(?1,0).
sin(a4?a5)若
当且仅当n?9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是 ．
1
14. 从x轴上一点A分别向函数f(x)??x3与函数g(x)?2引不是水平方向的切线l1|x3|?x3和
l2，两切线l1、l2分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记?OAB的面积为S1，
?OAC的面积为S2，则S1?S2的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15.（本小题满分14分）已知?,??(0,?)，且sin(??2?)?7sin?．
25（1）求证：tan(???)?6tan?；
（2）若tan??3tan?，求?的值．
16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD中，AB?AC?DB?DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上， 且AF??．
AC（1）若EF∥平面ABD，求实数?的值； （2）求证：平面BCD?平面AED．
A F
B D
E
C
（第16题图）
17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足
2
?log2(x?4),0?x?4，当药剂在水中释放的浓度不低于6y?mf?x?，其中f?x????6,x?4??x?2（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且．．．．不高于18（毫克/升）时称为最佳净化. ．．．．
（1）如果投放的药剂质量为m?4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天? ．．．．（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）
之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围. ．．．．
x2y218. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2+2?1?a?b?0?的
ab1离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
2（1）求a，b的值；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A,B，过点A的直线l与椭圆E及直线x?8分别相交于点M,N．
①当过A,F,N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； ②若cos?AMB??65，求△ABM的面积． 65
19.（本小题满分16分）已知函数f(x)?(x2?3x?3)ex，其中e是自然对数的底数． （1）若x?[?2,a],?2?a?1，求函数y?f(x)的单调区间； （2）设a??2，求证：f(a)?13； e2（3）对于定义域为D的函数y?g(x)，如果存在区间[m,n]?D，使得x?[m,n]时，y?g(x)的值域是[m,n]，则称[m,n]是该函数y?g(x)的“保值区间”．
设h(x)?f(x)?(x?2)ex,x?(1,??)，问函数y?h(x)是否存在“保值区间”？若
存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．
3
20.（本小题满分16分）已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足
bn?an?22，cn?anan?1． an（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；
（2）若数列{cn}为等比数列，且bn?1?bn，求证：数列{an}为等比数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）在?ABC中，已知AC?AB，CM是?ACB的平
12分线，?AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN?2AM．
A
M O CN
B 4
?a1?B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M??的特征值???1所对应的??3b??1?一个特征向量e1???．
??3?（1）求矩阵M；高 考 资 源 网
（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为xy?1，求曲线C的方程．
C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆
x2y2?2?1 2ab(a?b?0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积
的 最大值.
D．（选修４－５：不等式选讲）设a,b,c,d?R，求证：
a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2，等号当且仅当ad?bc时成立.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备
发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%. （1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率；
（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用p表示）；
（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.
5