23．（1）设x??1，试比较ln(1?x)与x的大小；
1n1（2）是否存在常数a?N，使得a??(1?)k?a?1对任意大于1的自然数
nk?1kn都成立？若存在，试求出a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
2014年高考模拟试卷(1)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1. 2； 2. (1,2]； 3.
11； 4. 40； 5. 625； 6. 10； 7. ；
2233223)； 11. 32； 12.[2,35]； 13.(4?,3?)；8. 83； 9. 2； 10．(1,
414. 8. 二、解答题
15．（1）证明：sin(??2?)?7sin?，
5[(???)?7?] ?sin?5s?in?[(??，?)
] 6
??[s?in(??)co??s?，co s?()sin]5?(??)c?os?6?co?s?(? ?sin，①
),????(，?0, ) ?,??(0?,?2 若cos(???)?0，则由①sin(???)?0与????(0,?)矛盾，
?sin?(??)c?o?sc?o?s(?cos?(???)，0
7?)?sin ?①两边同除以cos(???)cos?得：tan(???)?6tan?； （2）解：由（1）得tan(???)?6tan?，
tan??tan??6tan?，
1?tan?tan?4tan?133t?a，n?tan??tan?，??2tan?
1231?tan?3tan????(0,?)，?tan??1，从而??2?4．
A 16． 解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF?平
面ABC，
平面ABC平面ABD?AB， 所以EF//AB，
又点E是BC的中点，点F在线段AC上， 所以点F为AC的中点， 由AF??得??1；
AC2 （2）因为AB?AC?DB?DC，点E是BC的中点， 所以BC?AE，BC?DE，
F
B
E C （第16题图）
D
又AEDE?E，AE、DE?平面AED， 所以BC?平面AED， 而BC?平面BCD，
所以平面BCD?平面AED．
17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为m?4， 自来水达到有效净化．．．．?4f(x)?6 ?f(x)?
32?x?4?0?x?4?? ??3 3或?6?log(x?4)?2???2?x?22 ?0?x?4或4?x?6，即0?x?6，
亦即，如果投放的药剂质量为m?4，自来水达到有效净化一共可．．．．持续6天；
（2）由题设，?x?(0,7],6?mf(x)?18，m?0，
gx(?4?),x0?4?lo2?， f?x???6,x?4??x?27
??x?(0,4],?6m2loxg?(?，且4)?1x8?(4,7],6?6m?18， x?2?6m?6?2m?6 ??且?， ?53m?18???3m?18?3?m?6，?5?m?6， 亦即，投放的药剂质量m的取值范围为[5,6]. ??5?m?6?18．解：（1）由已知，?，且a?c?2，所以a?4，c?2，所以b2?a2?c2?12， 所以，a?4，b?23. （2）①由⑴，A(?4,0)，F(2,0)，设N(8,t)．
设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f?0，将点A,F,N的坐标代入，得
?d?2,?16?4d+f?0,?72??解得?e??t?, ?4+2d+f?0,t??2?64+t+8d+et+f?0,??f??8,72所以圆的方程为x2+y2+2x?(t+)y?8?0，
t172172即(x+1)2+[y?(t+)]2?9+(t+)2，
2t4t7272因为(t+)2?(272)2，当且仅当t+??122时，圆的半径最小，
tt故所求圆的方程为x2+y2+2x?122y?8?0．
②由对称性不妨设直线l的方程为y?k(x+4)(k?0)． ?y?k(x+4),12?16k224k?22,)， 由?x得M(y223+4k3+4k?1,?+?161232k2?24k?24?24kMB?(,)， ，?MA?(,)3+4k23+4k23+4k23+4k2MA?MB?8?24k65?cos?AMB????， 22265MAMB241+k?(32k)+24c
a12
化简，得16k4?40k2?9?0，
321此时总有yM?3，所以△ABM的面积为?8?3?12．
2解得k2?，或k2?，即k?，或k?，
14941219．解：（1）f?(x)?(x2?x)ex?x(x?1)ex,x?[?2,a],a??2，
x (??,0) (0,1) (1,??) ? f?(x) ? ?
由表知道：
①?2?a?0时，x?(?2,a)时，f?(x)?0，
?函数y?f(x)的单调增区间为(?2,a)；
8
②0?a?1时，x?(?2,0)时，f?(x)?0，x?(0,a)时，f?(x)?0， ?函数y?f(x)的单调增区间为(?2,0)，单调减区间为(0,a)； （2）证明：f(a)?(a2?3a?3)ea,a??2 f?(a)?a (2?aea)?aa?(ea1a)??,， 2a (?2,0) (0,1) (1,??) ? f?(a) ? ? [f(a)]极小值f=?(1 )e 353()?1313e?132)f?(2?)e?2?2?2 f(1? ?0eee?f?( 2 ) ?f(1) 由表知：a?[0,??)时，f(a)?f(1)?f(?2)，
)f(a)?f(?2)， a?(?2,0时，
13； e2（3）h(x)?f(x)?(x?2)ex?(x2?2x?1)ex,x?(1,??)， ?时，f(a)?f(?2)，即f(a)? ?a?2 h?(x)?(2，x?1x)e,x?(?1?, ))h?(x)?0， ?x?(1,??时，
?y?h(x)在(1,??)上是增函数，
?n?m?1? 函数y?h(x)存在“保值区间”[m,n]??h(m)?m
?h(n)?n? ?关于x的方程h(x)?x在(1,??)有两个不相等的实数根， 令H(x)?h(x)?x?(x2?2x?1)ex?x,x?(1,??)， 则H?(x)?(x2?1)ex?1,x?(1,??)，
?? [H?(x)]2x(??x2x1e)?x,??( 1,)) x?(1,??时，[H?(x)]??(x2?2x?1)ex?0，
?H?(x)在(1,??)上是增函数，
y?H?(x)在[1,2]图象不间断， H?(1?)??10H?,?(22)e?3?，且10x0?(1,2使得),H?(x0)?0， ??H?(x)?0，x?(x0,??)时，H?(x)?0， ,0时，) ?x?(1x ?函数y?H(x)在(1,x0)上是减函数，在(x0,??)上是增函数，
??1?，0?x?(1,x0],H(x)?0， H(1) ?函数y?H(x)在(1,??)至多有一个零点， 即关于x的方程h(x)?x在(1,??)至多有一个实数根， ?函数y?h(x)是不存在“保值区间”． 20．解：（1）因为数列{an}为等比数列，所以
an?1?q（q为常数）， an2cn?1an?1an?2??q3为常数，所以数列{cn}为等比数列； 所以2cnanan?1（2）因为数列{cn}是等比数列，所以
cn?1?q（q为常数）， cn9
2222cn?1an?1anananan?2?2?4?2 所以． ???q．则?2cnanan?1anan?1an?2an?3anan?12anaa 所以2?4?n?2n?3，即bn2?2?bn?1bn．
an?2anan?1 因为bn?1?bn，所以bn?2?bn?1，则bn2?2?bn2?1?bn?1bn．
所以bn?2?bn?1；bn?1?bn． 所以
an?3an?2a?，即an?3?an?1?n?2． an?1anan22cn?1cn?2anan?2?3?因为数列{cn}是等比数列，所以，即， ?cncn?1anan?1an?1an?2把an?3?an?1?an?22代入化简得an?1?anan?2，所以数列{an}为等比数列． an 第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21. A. 证明：如图，在?ABC中，因为CM是?ACM的
平分线，
所以
ACAM ． ?BCBM12 MA又AC?AB，所以
AB2AM ① ?BCBMONC因为BA与BC是圆O过同一点B的弦， 所以，BM?BA?BN?BC，即由①、②可知
BABBN ② ?BCBM2AMBN， ?BMBM所以 BN?2AM．
?a1??1???1?B．解：（1）依题意,得????3???3?， 3b???????a?3??1?a?2?21?，解得?，?M???； 303?3b?3b?0???? （2）设曲线C上一点P(x,y)在矩阵M的作用下得到曲线xy?1上一点
即?P?(x?,y?)，
?x??2x?y?x???21??x? 则????，即， ???y??y30???????y??3xx?y??1，?(2x?y)(3x)?1，
整理得曲线C的方程为6x2?3xy?1．
?x?acos?x2y2C. 解：已知椭圆2?2?1的参数方程为?.
y?bsin?ab?由题设,可令M(acos?,bsin?)，其中0???12?2.
所以，S四边形MAOB?S?MOA?S?MOB?OA?yM?OB?xM
12 10