?ab(sin??cos?)??4122?absin(??). 24所以，当??时，四边形MAOB的面积的最大值为2ab. 2D. 证明：由柯西不等式(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2，得(a2?b2)(c2?d2)?ac?bd将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上a2?b2?c2?d2，有
(a2?b2)?2(a2?b2)(c2?d2)?(c2?d2)?(a?c)2?(b?d)2 ，
．
即(a2?b2?c2?d2)2?((a?c)2?(b?d)2)2， 所以，a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2．
由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad?bc 时成立．
22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A，
则顾客中奖的概率P(A)?1?0.510?1023； 1024（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X元，
则X可以取5,0,?45,?145，X的分布列为：
X 5 50% 0 ?45 2% ?145 P 50%?2%?p p （3）由（2）X的期望为
E(X)?5?50%?0?(50%?2%?p)?(?45)?2%?(?145)?p
?1.6?145p，
?福彩中心能够筹得资金?E(X)?1.6?145p?0，即0?p?8， 7258时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. 7251x23. 解：（1）设f(x)?x?ln(1?x)，则f'(x)?1?， ?1?xx?1当x?(?1,0)时，f'(x)?0，f(x)单调递减；
所以当0?p?当x?(0,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递增；
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故函数f(x)有最小值f(0)?0，则ln(1?x)?x恒成立； （2）取m?1,2,3,4进行验算：
1(1?)1?2， 119(1?)2??2.25， 24164(1?)3??2.37， 3271625(1?)4??2.44， 42561猜测：①2?(1?)m?3，m?2,3,4,5,，
m1n1②存在a?2，使得a??(1?)k?a?1恒成立．
nk?1k证明一：对m?N，且m?1，
012有(1?)m?Cm?Cm()??Cm()2?1k1km1m?Cm()??Cm()
mmmm?m?1?12m?m?1??m?k?1?1km?m?1?2?11m?1?1??()??()??()2!mk!mm!m1?1?1?1??2??k?1?1?1??m?1??2??1?????1???1???1???1?????1?? 2!?m?k!?m??m??m?m!?m??m?1111?2??????
2!3!k!m!1111?2??????
2?13?2k?k?1?m?m?1?1m1m1?1??1??11??1?1?2??1????????????????
?2??23??k?1k??m?1m?1?3??3．
m1k1k又因Cm()?0?k?2,3,4,,m?，故2?(1?)m?3，
mmn1k1n1从而有2n??(1?)?3n成立，即a??(1?)k?a?1．
knk?1kk?11n1所以存在a?2，使得a??(1?)k?a?1恒成立．
nk?1k证明二：由（1）知：当x?(0,1]时，ln(1?x)?x， 设x?，k?1,2,3,4,，
则ln(1?)?，所以kln(1?)?1，ln(1?)k?1，(1?)k?e?3， 当k?2时，再由二项式定理得：
1111111(1?)k?Ck0?Ck()?Ck2()2??Ckk()k?Ck0?Ck()?2，
kkkkk1即2?(1?)k?3对任意大于1的自然数k恒成立，
kn1k1n1从而有2n??(1?)?3n成立，即a??(1?)k?a?1．
knk?1kk?1
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1k1k1k1k1k1k1n1所以存在a?2，使得a??(1?)k?a?1恒成立．
nk?1k
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