答疑 整个梁在变形后的挠曲线形状为：
根据几何关系得到：tgθB=yc/BC yc=BC tgθB=a tgθB≈aθB= FL2a/16EI。
7、如图所示中两梁的横截面大小形状均相同，跨度为L，则两梁的
梁在BC段不受外力的作用，通过静力平衡分析得到B、C两处内力图 ，两梁的最大正应力 ，两梁的变形 。的约束反力均为零， BC段的内力为零，固在BC段上梁不发生弯曲，（填写“相同”或“不同”） 只是绕B点转动一个角度θB，通过几何关系得到tgθB=fc/BC=fc/a,整理得到fc=a×tgθB ，在小变形的情况下有tgθB≈θB ，得到 fc=aθB=-5Pa3/6EI。
由于C处的约束反力为零，所以CD段的弯矩为零，CD段也不产生弯曲，只是由于AD段的弯曲变形带动CD段产生沿AD段的D截面切线方向的位移。通过图示中红线所围成的三角形的几何关系有：tg
2
θD=(∣fc∣-∣fD∣)/a 在小变形的情况下有θD≈tgθD= Fa/2EI,方向为瞬时针方向。
4、悬臂梁的抗弯刚度为EI，梁长为2L。坐标轴的原点在A处。①写出挠曲线近似微分方程 EIy’’= 。 ②当M＝3PL/2时，该悬臂梁转角θ＝0的截面位于x＝ 处。
答案两梁的内力图相同，最大正应力相同，两梁的变形不同。 答疑 简支梁两端的支反力的大小分别为P，且左端的支反力向下，固两梁的内力图相同；两梁的最大弯矩相等均为－PL，在横截面大小形状相同的条件下，最大正应力相等。虽然两梁的弯矩方程相同，挠曲线微分方程相同，但积分后的边界条件不同，，固得到两条形状不同的曲线，所以弯曲变形不同。
8、图示中梁的抗弯刚度为EI，C处为弹性支座，弹簧刚度为K。为求弹簧所受的力，则所取变形协调条件为： 。
答案 挠曲线方程为EIy’’=M-P(2L-x)；转角等于零的截面位于x=0、x=L/2；
答疑 横截面的弯矩方程为M(x)=M-P(2L-x)；当M＝3PL/2时,弯矩方程为M(x)=px-PL/2,代入挠曲线微分方程得到：EIy’’=Px-PL/2, 答案 fc（Nc,P）=Nc/K
2
积分一次得到转角方程为 EIy’=Px/2-PLx/2，令转角y’＝0，得到x=0、x=L/2。 答疑 协调方程为：梁在C处的挠度等于弹簧的变形。 5、已知图ａ中梁在中点的挠度为5qL4/384EI,那么图ｂ中点的挠度为 。
9、用积分法求梁的变形时，边界条件为： ，连续条件为 。
答案 5qL4/384EI
答疑线性分布载荷的梁在中点处的挠度的等于同一梁上作用有大小为2q的均布载荷梁的中点处挠度的一半。固ｂ中点的挠度为f=5×2q×L4/384EI×1/2= 5qL4/384EI。
6、如图所示的外伸梁，已知B截面的转角为θ＝FL2/16EI，则C截面的挠度yC= 。
答案 以A为原点，向右为x轴正方向 边界条件 连续性条件
x=0 y1=0, y1’=0； x=3a y2=0
x=2a y1=y2
答疑 A处为固定端约束处，挠度为零，转角为零； D处为活
动铰支，挠度为零；C处为中间铰，左右两侧的挠度相等，但转角不等。
答案 yc =aθB =FL2a/16EI 答疑 挠曲线的大致形状为：
10、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2= 。
答疑 跨度为L的悬臂梁在自由端承受集中力P时的最大挠度为33
PL/3EI，固上图的最大挠度为2PL/3EI，下图中的悬臂梁的最大挠度为P(2L)3/3EI=8PL3/3EI，固二者的最大挠度之比为1：4。
答案 M1/M2=－1/2
答疑 设左端有向上的约束反力R，根据静力平衡得到R＝（M2-M1）/L。取梁的左端为原点，向右为x轴正方向，那么任意截面处的弯矩方程为：M(x)=Rx+M1=（M2-M1）x/L+M1。由数学知识得到要使得A点成为挠曲线的拐点，在点A处有y’’=0；根挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可得在点A处有M(x)＝0，整理得到M1/M2＝－1/2
11、两简支梁的材料、截面形状、梁承受的载荷集度相同，而两梁的则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。
15、已知简支梁在力P作用下中点C处的挠度为δ，那么当梁上的载荷如右图时，梁的中点C处的挠度为： 。
答案 δ、向上
答疑 在简支梁上作用有集中力P时梁的中间截面处的挠度为δ。将右图中的载荷分解，相当于在梁上作用有向下的集中力P和向上的集中力2P。又由于简支梁的左右对称性可以得到：在力P的单独作用下C截面的挠度为δ、方向向下；在2P的单独作用下C截面的挠度为2δ、方向向上；叠加后得到C截面的挠度为δ、方向向上。 16、梁的跨度为L、抗弯刚度EI为常量，B支座位于梁的中点。写出在图示的坐标系下的边界条件及连续性条件 。
答案 y1max/y2max=1:16
答疑 跨度为L承受均布载荷q的简支梁在中间截面处的挠度为
44
5ql/384EI。固左图中的简支梁在中间截面处的挠度为5ql/384EI,右图中的梁的最大挠度为5q(2l)4/384EI。固左右两梁的最大挠度之比为1:16
12、两根梁的尺寸、受力和支撑完全相同，但材料不同，弹性摸量分别为E1和E2，且E1＝7E2，则两梁的挠度之比为： 。 答案 最大挠度之比为 1：7
答案 边界条件： x1=0 y1=0； x1=L/2 y1=0； x2=L/2 y2=0；
连续性条件：x1=x2=L/2 y1’=y2’；
答疑 由两梁的受力和支撑相同可以确定两梁的弯矩方程M(x)相
同，又由两梁的尺寸相同可以确定截面的惯性矩相等。根据挠曲线微 答疑 在固定铰支处挠度为零；
左右两段梁在活动铰支处的挠
分方程EIy’’=M(x)可知：E1y1’’= E2y2’’, 将E1＝7E2代入得到
度均为零；在活动铰支处的转角相同。
7y1’’= y2’’。由于两梁的支撑情况相同，积分后得到y1/y2=1:7
17、图示中的边界条件为x=0，yA=0；x=L，yB= 。右端的弹
13、矩形截面梁由木、钢两种材料组成。木、钢的弹性摸量分别为
簧刚度为K。
E1＝10GPa，E2＝210GPa。求木材、钢材所受的弯矩之比为 。
答案 M1/M2=5/21
答案 yB=P/2K
答疑 通过受力分析得到B处弹簧受力为P/2，弹簧的变形为P/2K。
梁与弹簧接触，固梁在B处的挠度等于弹簧的变形，所以有yB= P/2K。
答疑 变形后两种材料有相同的曲率半径ρ，根据曲率与弯矩之间
的关系1/ρ=M(x)/EI,有1/ρ=M1(x)/E1I1=M2(x)/E2I2，各截面的惯性18、简支梁的抗弯刚度EI已知，A位于梁的中间截面处，则中性层矩为I1=10th3/12、I2=2th3/12,从而得到M1/10E1=M2/2E2,代入弹性模量在A处的曲率半径为ρ＝ 。 后得到：M1/10×10=M2/2×210,整理得到21M1=5M2，所以 M1/M2=5/21 14、图示中的梁材料、截面相同，则两梁的最大挠度之比为： 。
答案 ρ＝8EI/ qL2
答疑 简支梁在中间截面处的弯矩为qL2/8，根据曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI有1/ρ= qL2/8/EI＝qL2/8EI，从而得到中性层
2
处的曲率半径为ρ＝8EI/ qL。
答案 1：4
19、用积分法求图示梁的变形时，边界条件为 ；连续条件为 。
简述 弯曲变形
1、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为
v=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI。求①最大弯矩及最大剪力。②梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。③画出此梁的受力图
答疑根据挠曲线微分方程EIy’’=M(x),将已知的挠曲线方程求二阶导数得到：v’’=q(-18Lx+24x2)/48EI,从而得到弯矩方程为
2
M(x)=q(-3Lx/8+x/2),将弯矩方程对x求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=q(-3L/8+x)。剪力为零的点弯矩取得极值，所以弯矩的极值点发生在x=3L/8处，固梁的最大弯矩为：M=q(-3L/8×
3L/8+(3L/8)2/2)=-qL3/128。剪力的一阶导数为q，且一阶导数值大于零，说明剪力是递增函数，在整个梁上作用有均布载荷且均方向向上。固剪力的最大值发生在x=L处，大小为Q=5qL/8。
将x=0分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=-3ql/8、M=0； 将x=L分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=5ql/8、M=qL/8； 根据x=0时剪力不为零，弯矩为零可以断定左端为自由端，且受向下的集中力的作用，集中力的大小为3ql/8；在x=L剪力不为零、弯矩不为零可以断定，梁的右端为固定端。 梁的受力及约束如下：
2
答案边界条件：x=0 y1=0 y’1=0
x=3a y3=0
连续条件 x=a y1=y2 y1’=y2 ‘
x=2a y2=y3
答疑在左端固定端处，挠度为零，转角为零；在右端活动铰支处挠度为零； 在力的作用点处挠度相等、转角相等；在中间铰处挠度相等，转角不等。
20、图示中两根材料相同的梁A和B，当自由端具有相同的位移时，最大应力较大的梁是 ，其最大正应力＝ 。
答案 B梁；ζ
max
=P2L/Wz=6P2L/bh
2、钢制悬臂梁在自由端受到力偶M后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？还是二者均可？为什么？
2
答疑B梁的抗弯刚度大，在二者自由端的挠度相同时，B梁的内力大，固B梁的应力较大； 最大应力为ζ
max
=M/Wz=P2L/Wz=6P2L/bh2
21、用积分法求梁的变形时，边界条件为 ，连续条件为 。并大致画出挠曲线的形状。
答案 圆弧状
答案 边界条件：x=0 y=0 y’ =0
x=2a y =0 x=3a y ‘’=0
答疑 由于梁上作用有力偶，固梁的弯矩方程为常量M(x)=M。根据曲率与弯矩之间的微分关系1/ρ= M(x)/EI＝ M/EI，所以梁中性层的曲率半径为常量，挠曲线为圆弧状；
3、等截面悬臂梁EI已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax3,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？并绘制梁的载荷图及梁的内力图。
连续条件 x=a y左=y右
答疑 对曲面方程y=-ax3求二阶导数得到y’’=-6ax。欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁的挠曲线与曲面重合。将曲面的二阶导数代入挠曲线微分方程得到：-6aEIx=M(x)，从而得到梁的弯矩方程为M(x)＝-6aEIx。将弯矩方程求一阶导数、二阶导数分别得到剪力方程为Q(x)=-6EIa、均布载荷集度为q(x)=0。由均布载荷的集度为零可以断定梁上不作用有均布载荷；由于剪力方程为常量说明在梁的自由端上作用有集中力，集中力的大小为6EIa、方向向
答疑
固定端处挠度、转角均为零；中间铰处左右两侧的挠度相等；活动铰支处挠度为零；在自由端处弯矩为零即y ‘’=0。
上；根据梁的弯矩方程M(x)＝-6aEIx可知，在梁的自由端处弯矩的大小为6aEIL、方向瞬时针；梁的载荷图以及内力图如下：
答案 自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶
答疑 梁在变形后与刚性曲面重合也就是梁在变形后的挠曲线与刚性曲面重合，刚性曲面的半径就是挠曲线的曲率半径，根据挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系有1/R=M(x)/EI，考虑到梁的抗弯刚度EI为常量，挠曲线的曲率为常量，固梁上的弯矩M(x)也是常量，大小为M(x)＝EI/R。固应在自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶。 8、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为K。
4、高度h、宽度b的梁受力偶M的作用，如图（ａ）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？在该力偶的作用下是否可以认为图（ｂ）中的高度为h/2，宽度为b的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？为什么？
答案 中性层处的正应力为零；中性层处的剪应力为零；不同 答案 边界条件 x=0 y1=0； x=a+b y2=N/K=Pa/(a+b)K 答疑 弯曲变形时在中性层处的正应力为零；由于梁受纯弯，横截面上没有剪力的作用，固中性层处的剪应力为零。
a图中的最大弯曲正应力为ζ=M/W=12M/bh3、最大挠度为f=12×ML2/2Ebh3；图ｂ中的两梁迭放，每一梁承担弯矩的一半M/2，最大弯曲正应力为ζ=M/W=12M/2/b(h/2)3=48M/bh3、最大挠度为f=M/2L2/2Eb(h/2)3/12=48ML2/2Ebh3。
5、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶M，使其成为纯弯曲，则由 1/ρ=M/EI知ρ为常量，挠曲线应为圆弧。若由y’’=M(x)/EI
2
积分，将得到y=Mx/2EI，它表面挠曲线是一条抛物线。为何产生这样的差别？
答疑 y’’=M(x)/EI称为挠曲线的近似微分方程，近似微分方程是由挠曲线微分方程
的量y’而得到，因此会产生此差别。 6、细长工件，加工完成后会变成什么形状？
边界条件x=0 y=0； x=L y=Na/EA=qla/6EA 答疑 对左端的固定铰支取矩求拉杆的受力为：N=qL/6。在图示坐
’’
标系下梁的弯矩方程为：M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2×(L-x)/3。其中q为x处的线性分布载荷的最大挠度，通过几何关系得到q’=q(L-x)/L，代入弯矩方程得到：M(x)= qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L。所以挠曲线的近似微分方程为EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L。
梁的左端为固定铰支、挠度为零；在右端由拉杆连接，梁的右端的挠度等于拉杆的伸长量。
答疑 在车刀的作用下相当于悬臂梁受集中力的作用，当车刀位于自由端时，悬臂梁有最大的向上的挠度，被车削掉的较少，加工后的横截面直径偏大；随车刀向固定端移动，悬臂梁的变形较小，被车削掉的部分较多，加工后的横截面直径偏小。最后成为固定端处截面细、自由端处截面粗的锥状。
7、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？
10、图示中梁的跨度为L，B处为一刚度为K的弹簧，写出挠曲线近
似微分方程，写出梁的边界条件。
中忽略了非常小
答案 近似微分方程 EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L
连续性条件x=a y1=y2 y1’=y2’
答疑 x=0处为固定铰链支座，此处的挠度为零；在x=a+b处为弹性支撑，梁的挠度等于弹簧的变形，弹簧的受力根据静力平衡求解大小为Pa/(a+b)；在外力的作用点x=a处满足连续性条件，挠度相同，转角相同。
9、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。
答案 左细右粗的锥状
答案 近似微分方程 EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2； 边界条件 x=0 y=0； y=N/K=3qL/2K
x=L
14、在中国古代的木结构建筑中，在上梁与柱的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构。从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。 答疑 对梁的左端取矩得到弹簧的受力为N＝3qL/2，在图示坐标系下梁的弯矩方程为
M(x)=N(L-x)-q(L-x)2/2=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2，从而得到梁的挠曲
2
线近似微分方程为EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2。
梁的左端为固定铰支，此处挠度为零；在梁的右端为弹性支撑，梁的变形等于弹簧的变形。
11、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。
答疑 传动轴在工作时可以简化为简支梁，传动轴上的齿轮或带轮传递给传动轴一个集中力的作用。如果将齿轮或带轮安装在跨中，此时传动轴承受最大弯矩，大小为集中力与传动轴跨度乘积的四分之一；如果齿轮或带轮尽量靠近轴承处，此时传动轴承受的最大弯矩总小于集中力与传动轴跨度乘积的四分之一，从而提高了传动轴的弯曲强度。
12、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此项建议是否合理？ 答案 此建议不合理
答疑 钢轴的弯曲刚度不够，说明钢轴的变形过大。根据弯曲变形的挠曲线近似微分方程EIy’’=M(x)/EI可以看出，梁的变形与梁的内力大小、截面惯性矩、梁的材料有关。考虑到各种钢材的弹性模量E的变化不大，尽管选择了优质钢，但对提高弯曲刚度的效果不大，且增加成本。一般情况下应考虑通过降低梁承受的弯矩、提高截面的惯性矩、等强度梁等办法来提高梁的弯曲刚度。
13、已知梁的挠曲线方程为EIy=-qx5/120L。问(1)在x=0和x=L两端点处的约束如何？(2)最大弯矩和最大剪力各是多少？(3)梁上的载荷如何分布？
答疑 改善梁的受力，将梁承受的集中约束反力分散，从而降低梁承受的最大弯矩，提高梁的抗弯强度。 15、对于受弯曲的梁能否通过采用高强度材料提高其刚度？ （ 能、不能） 答案 不能 答疑 梁的弯曲变形y’’=M(x)/EI，不仅与材料有关，还与内力、横截面的形状有关，提高梁的弯曲刚度应该从减低梁的内力、提高截面的惯性矩着手，而不应该采用高强度钢材。各种钢材的弹性模量变化不大，不仅不能提高强度，反而增加成本。 16、建筑工地中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力，混凝土承受压力，这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人建议在桥梁的中间部位再加一个桥墩。此方案可行吗？为什么？并请你提出一个可行的方案。 答疑 钢筋是塑性材料，抗拉压强度相同，一般作受拉构件；而混凝土为脆性材料，抗压不抗拉，在钢筋混凝土结构中，在布置上使钢筋承受拉力，补充了混凝土材料的不抗拉的弱点，从而提高了混凝土结构的抗拉强度。 列车通过时跨中挠度超出了设计要求，说明桥梁的变形过大，应减少桥梁的变形。在桥梁的中间部位再加一个桥墩，可以减少桥梁的变形，从理论上讲此方案可行。但从实际的工程施工情况来看，一3
答疑 将梁的挠曲线方程求二阶导数得到：EIy’’=-qx/6L,从而座桥梁建好后再安置一桥墩，工程施工中很难实现。比较好的办法是32
为此可以在桥梁上安得到梁的弯矩方程为M(x)= -qx/6L。其中： M(0)＝0；M(L)＝－qL/6；通过提高截面的惯性矩来提高桥梁的抗弯刚度，装斜拉索、或安装桁架结构，如图所示。 说明梁的左端为自由端，右端为固定端。
对弯矩方程求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=-qx2/2L。由于梁
的剪力始终小于零，说明梁的弯矩呈下降趋势，固梁的最大弯矩值为0，弯矩的最大绝对值为qL2/6。
对剪力方程求一阶导数得到载荷集度为q(x)=-qx/L。由于梁的载荷集度始终小于零，说明剪力呈下降趋势，考虑到Q(0)=0、Q(L)=-qL/2，固最大剪力值为零；剪力的最大绝对值为qL/2。梁的左端无集中力的作用。
由于梁的载荷集度为q(x)=-qx/L，说明梁上作用有线性分布的载荷，由q(0)=0、q(L)=-q说明分布载荷从梁的左端开始呈递增趋势，且方向向下。梁的载荷图如下：
第七章 应力状态与强度理论1 1、 一点的应力状态的概念； 2、 主应力、主平面的概念； 3、 应力状态的分类； 4、 平面应力状态分 重点 析的解析法； 5、 平面应力状态分析的应力圆法； 6、 广义虎克定律以及其应用； 难点 1、提取一点的应力状态； 2、主平面的方位； 3、最大剪应力的数值及其所在的方位； 4、广义虎克定律的应用；
1、 一点的应力状态的表示方法和应力状态的分类； 2、 主应力、主平面、主单元体的概念； 3、 压力容器；4、 解析法和图解法分析平面应力状态； 5、 三向基本知识应力状态的概念； 6、 已知一个主应力求另外二个点 主应力； 7、 三向应力圆草图； 8、 复杂应力状态下的广义胡克定律及其工程应用； 9、 复杂应力状态下应变比能的概念；