碳钢属于塑性材料，抗拉压强度相等，宜采用对称截面，选择
矩形或工字型截面，但工字型截面相对于矩形截面有较大的惯性矩，所以碳钢材料时，选择工字型截面较好。
铸铁材料是脆性材料，抗拉压强度不等，宜采用不对称截面，选择T型或倒T型截面；此梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，考虑到铸铁抗压不抗拉，中性轴应靠近受拉一侧，固选择倒T型截面较合理。
3、材料E以及横截面面积A均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？
答疑 采用倒T截面
铸铁梁应该选择不对称截面。此梁承受有最大正弯矩和最大负弯矩，最大正弯矩的值为3M/5，最大负弯矩的值为－2M/5。最大正弯矩产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，固中性轴应该偏下，选择倒T截面。 倒T型放置时最大正弯矩截面的最大拉应力为ζ=3My2/5Iz；在最大负弯矩处产生的最大拉应力为ζ=2M
y1/5Iz=4My2/5Iz。如果选择T型截面，在最大正弯矩处的最大拉应力为ζ=3M y1/5Iz=6My2/5Iz；在最大负弯矩处的最大拉应力为ζ=2My2/5Iz。
7、板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。
答案 截面的组合形式如下
4、T型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度考虑，应如何放置？阐述原因并画出横截面上的应力分布规律。
答案 工字型截面承担的弯矩最大
答疑 在横截面面积相同的情况下，应使截面的大部分分布在远离中性轴的区域，此时截面有较大的惯性矩，承载能力也最大。工字型截面有较大的惯性矩。
答疑 倒T型放置
答疑 应使梁的横截面的大部分分布在远离中性轴的区域，以提高截面的惯性矩，从而提高梁的承载力。
在梁承受正弯矩的情况下，产生上压下拉的正应力。铸铁材料抗压不8、铸铁梁从强度的角度考虑放置是否合理？ 抗拉，所以应使梁的中性轴偏下比较合理，固应采用倒T截面形式。应力分布规律为：
答案 1图合理；2图不合理。
答疑 图1中的梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力；梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，应使横截面的中性轴靠近受拉的一侧，固
5、简述：应从哪些方面考虑提高梁的承载力？ 中性轴应偏上，而图1中的截面形式中性轴是偏上的，固图1中的放
置形式合理。 图2中的铸铁梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正
答疑 降低梁的最大弯矩，采用合理截面，采用等强度梁。 应力，中性轴应偏下，但图示中的放置形式的中性轴偏上，固此放置
形式不合理。
简述 提高梁的弯曲强度
9、一T型截面铸铁梁，在下列条件下T字型是正放还是倒放？并
6、简支梁的材料为铸铁，梁的总长度为L。承受的外力偶为M，方向指出危险点的可能位置。①:全梁的弯矩M>0；②全梁的弯矩M<0； 如图。外力偶矩的作用面到左端固定铰的距离为2L/5。欲采用下面
的四种截面形式，y1/y2=2，为此梁选择最佳的截面形式为 。 答案 ①:全梁的弯矩M>0时，应该选择倒放；危险点的可能位置阐述原因。 发生在最大正弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。；
②全梁的弯矩M<0时，应该选择正放；危险点的可能位置发生在最大
负弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。
答疑 全梁的弯矩M>0时，说明梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，材料本身抗压不抗拉，中性轴应偏下，选择倒T型截面； 全梁的弯矩M<0时，梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力，中性轴应偏上，选择正T型截面形式。
10、在建筑工地上有时会看到将要安装的屋架梁制造成如图所示的形状，即靠近中间的在腹板上有许多圆孔，且工字截面的中间高、两边低。从材料力学的角度看是否合理？为什么？ 施； 判断 弯曲变形 1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线” 答案 此说法正确 答案 合理 答疑 屋架梁产生弯曲变形，中性层发生在截面的中间处，此处的弯曲正应力的值偏小，固在靠近中间的部分挖去许多孔，既满足了屋架的弯曲强度又节约材料、降低了屋架的自重。 答疑 平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。 2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比” 屋架的受力，一部分是本身的自重，另一部分是与轴线垂直的外载，使得屋架承受的弯矩中间截面大，两端的弯矩值偏小，为了提高屋架 答案 此说法错误 的抗弯曲强度，节约材料，减轻自重，应该采用横截面随弯矩的变化而变化的变截面梁，在弯矩较大的中间截面处采用的工字型的高度较 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知，转角与弯矩之间大；在弯矩较小的两边，采用的工字型截面的高度较小。 的关系为θ＝∫M(x)/EIdx，挠度与弯矩之间的关系为 v＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，不是正比的关系。 11、古罗马建寺院，运输石柱时用两个滚子支撑，用牛拉它前进，经验表面石柱会在图示位置破坏，解释原因。并请提出你的建议。 3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程” 答案 此说法错误 答疑 挠曲线近似微分方程的应用条件是：线弹性、小变形。 4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相 答疑 石柱仅受自重的作用，石柱的受力可看成均布在和的作用，同” 根据石柱的受力和支撑情况画出石柱的弯矩图如图所示： 答案 此说法正确 答疑如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。 5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间从弯矩图可以看出，在支撑点承受的弯矩最大，且该截面上方受拉，铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。” 石柱为脆性材料，抗拉能力较差，因此在支撑的上方将被拉断，使其开裂。 要使石柱的受力合理，将减少危险面上的弯矩，较好的办法 答案 此说法正确 是使石柱承受的最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。固将滚子移到距离端部为a的位置，由受力分析得到最大负弯矩发生在支撑处， 答疑 在分段处梁满足连续性条件。 最大正弯矩发生在中间截面处，其值分别为： M-max=-qa2/2； M+max=qL(L/2-a)/2-q(L/2)2/2。令|M-max|=|- M+max|有qa2/2＝qL(L/2-a)/2-q(L/2)2/2，求解得到a=0.207L，即将滚子支撑在距离端面a=0.207L处时，石柱受到的弯矩最小。 第六章 弯曲变形 1、 挠曲线上任意一点的曲率与弯矩之间的关系：1/ρ=M(x)/EI以及适用条件； 2、 弯曲变形的位移； 3、 挠曲线近似微分方程； 4、 积分法求梁的变形； 5、 各种梁的边界条件和连续性条件； 6、 叠加法求梁的变形； 7、 梁的刚度条件； 1、积分法求梁的变形中积分常数的确定； 2、叠加法求梁的变形时要注意考虑其他段上的载荷、变形对本段的影响； 6、“最大挠度处的截面转角一定为0” 答案 此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI，积分分别得到转角方程θ(x)＝∫M(x)/EIdx、挠曲线方程 v(x)＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，挠曲线的一阶导数为y’(x)＝∫M(x)/EIdx＝θ(x)，由此可知：在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。 7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大” 答案此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值，但挠度不一定是最大的；例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大 8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。” 答案 重点 难点 1、 梁的变形的度量——挠度和转角的概念； 2、 梁的挠曲线近似微分方程； 3、 挠曲线近似微分方程的适基本知识点 用范围； 4、 积分法求梁的变形； 5、 叠加法求梁的挠度和转角； 6、 确定挠曲线的大致形状； 7、 运用刚度条件进行梁的刚度计算； 8、提高梁弯曲刚度的措9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求” 答案 此说法错误
答疑 挠曲线的适用范围是线弹性、小变形。如果采用y’’=M(x)/EI的形式就必须设轴线方向为x轴，横截面的位移方向为y轴，固挠曲线在xoy平面内。
3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在 处。
答疑 叠加法应用的前提是：小变形、材料服从虎克定律。 10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”
答案 此说法错误
答疑 梁的变形与材料有关。
4、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。
11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”
A：减小集中力P； B：减小梁的跨度； C：采用优质钢；
D：提高截面的惯性矩
A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；
答案 正确选择：D
答疑 根据挠曲线曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI可得，挠曲线的曲率与弯矩成正比，在弯矩最大处曲率最大。
答案 此说法错误
答疑 截面正放与倒放，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同；但应力与截面的放置方式有关，正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。 选择 弯曲变形
1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的 倍；最大挠度是原来的 倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的 倍，最大挠度是原来的 倍。 A：2； B：16 C：8 D：4；
答案 正确选择：B
5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①ζ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ哪一个会得到正确的计算结果？
A：①正确、②正确； B：①正确、②错误； C：①错误、②正确； D：①错误、②错误；
答案正确选择：C、B、A、C
答疑 当悬臂梁的横截面直径为d时的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/
3334
πd，最大挠度为v=PL/3EI=64PL/3Eπd；当梁的直径减少一半其他条件不变时梁的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/π(d/2)3=8×32M/πd3,固最大正应力是原来的8倍；此时梁的最大挠度为v= PL3/3EI’=64PL3/3Eπ(d/2)4=16×64PL3/3Eπd4,最大挠度是原来的16倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，此时最大弯矩为2M，抗弯截面系数不变，此时最大正应力是原来的2倍，此时梁的最大挠度为v=P(2L)3/3EI=8PL3/3EI,固梁的最大挠度是原来的8倍。 2、y’’=M(x)/EI在 条件下成立。
C：变形必须是小变形；
A：小变形； B：材料服从虎克定律；
答案 正确选择：C
C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C； 答案 正确选择：D
答案 正确选择：B
答疑 ζ=My/IZ的适用范围是线弹性，只要梁的变形在线弹性范围内，不论变形的大小该公式均适用；y’’=M(x)/EIZ的适用范围是线弹性、小变形。此时板条已经弯成1/4圆，是大变形，不在小变形的范围内，固此公式不适用。
6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是 。
A：梁必须是等截面的；
B：梁必须是静定的；
D：梁的弯曲必须是平面弯曲。
答疑 在小变形、材料服从虎克定律的前提下，挠曲线的微分方程是线性的，计算弯矩时用梁在变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系是线性的，这样对于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程的解也可以叠加。
7、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是： 。
A：热处理； B：选用优质合金钢； C；增大直径； D：提高表面光洁度； 答案 正确选择：C
答疑 增大直径相当于提高截面的惯性矩。
答案 正确选择：B
’’
答疑 根据挠曲线微分方程y=M(x)/EI,整理得到M(x)=EIy’’。
2
将所给定的挠曲线方程求二阶导数得到EIy’’=q(lx-x)/2，固此梁
2
的弯矩方程为M(x)= q(lx-x)/2。欲使弯矩取得极值需要满足8、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径， 。
dM/dx=0。求解dM/dx=0得到 x=L/2，即在梁的中间截面处弯矩取得极值，大小为M=q(L×L/2-(L/2)2)/2=qL2/8。取得极值，大小为M=q(L
A：仅提高强度； B：仅提高刚度； C：强度、刚度均有提高； 22
×L/2-(L/2))/2=qL/8。 答案 正确选择：A
答疑 局部增大直径，可以使该处的最大应力降低，提高梁的弯曲强度；由于梁的挠度是在整个梁上的积分，是累积效应，固不能明显地提高梁的弯曲刚度。
9、两简支梁的材料、截面形状、梁中点承受的集中力P均相同，而两梁的跨度之比为L1/L2=1/2，则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。 A:1/2
B:1/4
C:1/6
D:1/8
答案 正确选择：A
答疑 梁的弯矩方程是分段函数，但梁的挠曲线是一条光滑连 续曲线，在分段处满足连续性条件。
答案 正确选择： D
13、已知两梁的跨度、载荷均相同。比较图示中两梁的强度和刚度。其中：2图为两根高度为h/2，宽度为b的矩形截面梁叠加而成的，且相互间的摩擦不计，有 。
B：强度不同、刚度相同； D：强度、刚度均不同；
12、C截面为梁的中间截面，在图示中的力的作用下，C截面左右两
侧的转角 。
A：|θ左|＝|θ右| B：|θ左|>|θ右| C：|θ左|<|θ|
右
答疑 跨度为L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，梁中点的
3
挠度为PL/48EI，跨度为2L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，梁中点的挠度为P(2L)3/48EI=8PL3/48EI。固二者的最大挠度之比为
A：强度相同、刚度不同； 1：8
10、图示中的二简支梁在跨度中点截面处的 。 A：转角和挠度均相等； B：转角和挠度均不等； C：转角相等、挠度不等； D：转角不等、挠度相等；
答案 正确选择：D C：强度、刚度均相同；
答疑 图1中梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/bh2,最大挠度为
v=PL3/3E×(bh3/12)；图2中的两梁迭放，相当于两个独立的梁共同
承担弯矩PL，有M1＋M2＝PL；两梁的挠曲线有相同的曲率1/ρ1＝1/
答案 正确选择：D ρ2，考虑到曲率与弯矩之间的微分关系 1/ρ1=M1/EI,1/ρ2=M2/EI，
有M1/EI＝M2/EI。迭放在一起的上下两梁的抗弯刚度EI相等，得到
4
答疑 作用有均布载荷的梁在中点处的挠度为5ql/384EI；作用有两梁承担的弯矩相等，即有M1＝M2＝PL/2。那么其中一根梁内的最大
22
线性分布的载荷梁的中点处的挠度等于同一梁上作用有2q的均布载正应力为ζ＝M/W=PL/2/b(h/2)/6=12PL/bh,v=
3333
固二者的强度、荷的梁的中点挠度的一半，固线性分布载荷的梁在中点挠度的大小为PL/3EI’=PL/2/3E(b(h/2)/12)=4PL/3E×(bh/12)。
5(2q)l4/384EI×1/2=5ql4/384EI, 固二者在中间截面处的挠度相等。 刚度均不同。 均匀分布载荷的梁在中间截面处的转角为0，而线性分布载荷的梁在中间截面处的转角不为零。
11、已知一梁的挠曲线方程为：EIy=-qx(l3-2lx2+x3)/24，所取的坐标系如图，则该梁的最大弯矩是： 。 A：ql2/4; B：ql2/8 C：ql2/16
14、图示中的悬臂梁采用两种截面形式，一种为相同的矩形截面叠放
而成，无胶接；另一种为完整的正方形截面。在小变形的情况下迭放的梁内最大弯曲正应力是完整截面形式的梁的最大正应力的 倍。
A：2； B：4； C：8； D：16；
C：强度、刚度均提高； D：强度、刚度都降低；
答案 正确选择：A
答疑 完整的正方形截面梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/a3，迭放的梁内的最大正应力为ζ＝M/W=PL/2/a(a/2)2/6=12PL/a3。固迭放的梁内的最大正应力是完整截面的2倍。
答案 正确选择：B
答疑将截面倒置后，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固刚度不变；但强度与截面的放置方式有关；此梁承受负弯矩，产生上拉下压的正应力，正放时，中性轴距离受拉一侧较近，最大拉应力较小，倒置时，中性轴距离受拉一侧较远，最大拉应力的数值较大，强度降低。
18、正方形截面分别按图示中的两种情形放置，则两者间的抗弯刚度
15、图示中的两个简支梁跨度相同，一根为钢，一根为铜，已知它们之间的关系为 。 的抗弯刚度EI相同，在相同的力P的作用下，二者的 不同。 A：支反力； 转角；
B：最大正应力； C：最大挠度；
D：最大
A：(a)>(b) 定
B：(a)<(b)
C：(a)=(b)
D：不一
答案 正确选择：B
答疑 二者的支座反力相同；简支梁的中点作用有集中力时梁的最
32
大挠度v=PL/48EI,最大转角为θ＝PL/16EI，固二梁的最大挠度、最大转角均相同；二梁的最大弯矩相同，根据弯曲正应力与弯矩之间的关系ζ＝M/W，由于抗弯刚度相同，材料不同，固截面的惯性矩不同，抗弯截面系数也不同，所以最大正应力不同。
16、图示中的悬臂梁，为减少最大挠度，则下列方案中最佳方案是 。
A：梁长改为L/2，惯性矩改为I/8； B：梁长改为3L/4，惯性矩改为I/2；
C：梁长改为5L/4，惯性矩改为3I/2； 矩改为I/4；
D：梁长改为3L/2，惯性
答案 正确选择：C
答疑 正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放置方式中的抗弯刚度相同。 填空 弯曲变形
1、应用叠加原理求梁的位移，必须满足的条件有 ， 。 答案 线弹性（材料服从虎克定律）、小变形。
答疑 在线弹性、小变形的条件下，挠曲线微分方程是线性的；在小变形的前提下，计算弯矩时用梁在变形前的位置，这样弯矩与载荷之间的关系是线性的，对于几种不同的载荷弯矩可以叠加，微分方程的解也可以叠加。
2、应用梁的挠曲线近似微分方程y’’=M(x)/EI时， 其使用条件应为： 。
答案 正确选择：B
答疑 正常情况下的最大挠度为v=FL3/3EI，A方案的最大挠度为
33
vA=F×(L/2)/3E×I/8= FL/3EI=v；B方案的最大挠度为vB=F×(3L/4)3/3E×I/2= 27/32×FL3/3EI=27/32v；C方案的最大挠度为vC=F
33
×(5L/4)/3E×3I/2= 125/96×FL/3EI=125/96v；D方案的最大挠度为vD=F×(3L/2)3/3E×I/4=27/2× FL3/3EI=27/2v；
另外：一般情况下通过减小梁的跨度、增大截面惯性矩等办法来提高梁的弯曲刚度，固可直接判断得C、D方案不合理。
17、T型截面铸铁梁在铅垂面内弯曲，若将截面倒置，则梁的强度和刚度与原来的相比 。 A：强度提高、刚度不变；
B：强度降低、刚度不变；
答案 θD=－Fa2/2EI、fC=-5Pa3/6EI
答疑 在推导此近似微分方程的过程中，忽略了转角dv/dx，近似
认为挠曲线是一条很平坦的曲线，转角dv/dx非常小，忽略不计；在推导公式的过程中没有考虑剪力对变形的影响；
3、图示中静定梁的抗弯刚度为EI。D点的挠度为fD=-Pa3/(3EI)，B截面的转角为θB=5Pa2/(6EI)，则D截面的转角为θD= ；C点的挠度为fC= 。
答案 应力小于比例极限、小变形、剪力对变形的影响可以略去不计