5、应用公式ζ=My/Iz时，必须满足的两个条件是 和 。
答案 各向同性的线弹性材料、小变形
答疑 公式ζ=My/Iz的推导过程中应用了虎克定律且在纯弯的条件下推导出来的。
答案 抗弯截面系数分别为 a3/6；a3/24；a3/6；a3/6
6、图示中两梁的几何尺寸和材料相同。由正应力的强度条件可得（B）
答疑 a图的抗弯截面系数为Wz=bh2/6=a3/6； b图中维粘合，是两梁的承载力是（A）梁的 倍。
个截面的迭放形式，抗弯截面系数取其中的一个Wz=bh2/6=a×
(a/2)2/6=a3/24； c图中的也为粘合，相当于梁截面的并列排放，其抗弯截面系数为：Wz=2×bh2/6=2×a/2×a2/6=a3/6； d图截面斜放，但截面是正方形截面，截面对于任意轴的惯性矩相等均为
答案 （B）梁的承载力是（A）梁的5 倍
答疑 A梁的最大弯矩为qL2/8，B梁的最大弯矩为qL2/40，在几何尺寸相等的条件下，B梁的承载力是A梁的5倍。
填空 弯曲正应力
7、图示中梁受移动载荷P的作用，当P移到 截面时，梁内的压应力最大。
答案 弯矩M＝ Eπd/[32(D+d)]
答案 当P移到D截面时，梁内的压应力最大。 答疑 当载荷移到D截面时，梁承受最大正弯矩，大小为M＝P/2×4=2P，此时D截面的顶面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=2P×
2y1/Iz=4Py1/Iz；当载荷移到C截面处，梁承受最大负弯矩，大小为M＝－3P，此时C截面的底面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=3P×y1/Iz=3Py1/Iz。所以当载荷移到D截面时，梁内的压应力最大。 8、直径为ｄ的圆截面杆受力如图，弹性摸量E、载荷P 、梁的尺寸L 、a均已知。则梁在C点处的曲率半径为ρ＝ 。
答疑 钢丝绕在直径为D的圆筒上，得到钢丝的中性层处的曲率半径，大小ρ＝(D+d)/2。根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=M/EI,得到横截面上弯矩的大小为：M= EI/ρ=Eπd4/64ρ= E
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πd/64×(D+d)/2= Eπd/[32(D+d)] 简述 弯曲正应力
1、解释下列名词：①平面弯曲；②中性层与中性轴
答疑 平面弯曲：作用在杆件上的所有外力都作用在纵向对称面内，梁的轴线在变形后是一条位于纵向对称面内的一条平面曲线。 中性层：梁在发生平面弯曲时，横截面仍然保持为平面，沿截面高度，由底面纤维的伸长连续地逐渐变为顶面纤维的缩短，中间必有一层纤维的长度不变，此层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
答案 梁在C点处的曲率半径为ρ＝Eπd/(6 4Pa) 答疑
C截面处的弯矩为M=Pa，根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=Pa/EI,所以C截面处的曲率半径的大小为ρ＝EI/Pa= Eπd4/(64Pa)
4
4
Iz=bh3/12=a4/12，抗弯截面系数为Wz=Iz/ymax= a4/12/
a/2=a3/6
10、直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上。已知钢丝在弹性范围内工作，弹性摸量为E，钢丝所受的弯矩为 。
2、在房屋的建造中，常常可以看到用空心楼板和波瓦作的屋面，请用弯曲理论解释其好处何在。
答疑 由于楼板承受与楼板平面相垂直的外力，使楼板产生弯曲变形，中性层位于楼板厚度的一半处，在此处既不受拉也不受压，所以在中性层处采用空心既可以满足强度的要求，又减轻了楼板的自重。 波瓦的受力也是与其所在的平面相垂直的外力，采用波浪型是为了在横截面面积几乎不变的条件下，尽可能地提高截面的惯性矩，以减小波瓦的最大弯曲正应力。
9、下列四种截面梁均是边长为ａ的正方形截面，若载荷均作用在纵向对称面内，计算四种截面梁的抗弯截面系数WZ＝ 。（b、c两种截面未经粘合） 3、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，
最大弯曲正应力哪一个大？
可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。
答案 b的弯曲正应力大
答疑 根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI，考虑到ρa>ρb ,得到Ma(x)/EI 答疑 拉压的平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线； 扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变； 弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移； 扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角； 弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。 5、矩形截面梁的尺寸中，高h为宽度b的2倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？ 答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为EI/R。 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时梁的曲率半径ρ＝R，所以有M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的半径R为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩M为常量，大小为EI/R。 8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？ 答案 是拉应力导致笔尖折断 答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。 9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在1－1、2－2截面处有铅垂和水平方向的直径为ｄ的穿透圆孔如图。分别画出1－1、2－2截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。 7、悬臂梁的刚度为EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。 答案 1－1截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。 答案 梁的强度减低 答疑 竖放时ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3，横放时ζ 23 =M/Wz=M/hb/6=6M/2b；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的2倍。 简述 弯曲正应力 6、有一直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。 答案 此方案不行 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径ρ＝(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为 M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式ζ=M/Wz，得到ζ =2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)×(IZ/Wz)=2E/(D+d)×d/2=Ed/(D+d)，由此 2-2截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ 3333 =M/Wz=Mh/2/(bh/12-bd/12)=6Mh/b(h-d)。 答疑 1-1截面上的弯曲正应力线性分布，中性层处的正应力为零，正应力按上压下拉连续变化；绝对值最小的正应力的值为零，发生在中性层处；绝对值最大的正应力发生在h/2处。 2－2截面在中性层附近为空心，在d/2到h/2的范围内正应力线性分布。绝对值最小的正应力发生在d/2处，绝对值最大的正应力发生在h/2处。 10、 在推导梁的纯弯曲正应力的计算公式时，作过平面假设，问此 假设在推导过程中起到了什么作用？ 答疑 因为假设横截面保持为平面，才可以得出纵向纤维的线应变在横截面上成直线变化，从而可以建立应变与位移（转角）之间的几何关系。 判断 弯曲剪应力 答疑 矩形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；正方形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；圆形截面梁的最大剪应力为4Q/3A；设薄壁圆环的平均半径为R，则薄壁圆环截面的惯性矩为IZ=πR3t，半截面对中性轴的面矩为S*= ，固截面的最大剪应力 为η＝Q S*/bIz=2QR2t/(2t×πR3t)= Q/πRt=2Q/A。 2、横力弯曲时，横截面上 。 A：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应 力不等于零； C：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等 于零； 答案 正确选择：C 1、“横力弯曲梁某截面上的最大弯曲剪应力一定位于该截面的中性轴上。” 答案 此说法错误 答疑 横力弯曲时，横截面上既有剪力又有弯矩，弯矩产生正应力，剪力产生剪应力。 填空 弯曲剪应力 答疑 宽度b没有突变的横截面上，最大剪应力总是出现在中性轴上各点处，如矩形截面、圆形截面、工字钢截面。但对于横截面宽度有变化、或横截面的宽度b在中性轴处显著增大的截面如十字型截面，或某些变宽度的截面如等腰三角形截面，最大剪应力不出现在中性轴上。 例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处。 1、矩形截面简支梁，不计梁的自重，A点处的最大剪应力＝ ，B点处的最大正应力＝ 。 答案 η=3F/8bh；ζ= 3Fa/bh2 2、“梁在横力的作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力点的正应力不一定为零“ 答案 此说法正确 答疑 梁在发生平面弯曲时，最大剪应力不一定总是位于中性轴处，固最大剪应力的所在的点处正应力不一定为零。 例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，但最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处，此处的正应力不为零。 答案 ζ= 3PL/2bh2；η=3P/2bh； 答疑 当载荷移到梁的中点时，梁承受最大正弯矩，大小为PL/4, 此时在中间截面的最上面与最下面分别产生最大正应力，大小为ζ=M/Wz=PL/4Wz=3PL/2bh2；当载荷移到离支座很近时，梁承受最大剪力的作用，剪力的大小为P，此时在危险截面的中性层处产生最大剪应力，大小为η=3Q/2A=3P/2bh。 3、简支梁承受集中载荷的作用，梁内A点处的剪应力等于 ，B点处的正应力等于 ，C点处的正应力等于 。 答疑 截面为矩形截面，A点处的最大剪应力为η=3Q/2A=3×F/4/2bh=3F/8bh；B点处的最大正应力ζ=M/Wz=Fa/2× 22 (6/bh)=3Fa/bh。 2、一矩形截面简支梁的跨度为L，当一载荷P从A运动到B时，梁上的最大弯曲正应力为 ，最大弯曲剪应力为 。 选择 弯曲剪应力 1、下列各梁的面积相等，其上的剪力也相等，则 截面上的最大剪应力最大。 A：矩形； B：正方形 C：圆型； D：薄壁圆环； 答案 正确选择：D 答案 0、 0、 2Pa/bh2 答疑 A、B、C三点所在的截面上的剪力为Q＝P/3,弯矩为M＝＋Pa/3。A点位于截面的最下层纤维处，所以A点处的剪应力为零；B点位于横力弯曲的中性层处，B点的弯曲正应力为零；C点的正应力为该截面上的最大正应力发生处，大小为ζ=M/Wz=Pa/3/bh2/6=2Pa/bh2。 4、跨度较短的工字型截面梁，在横力弯曲的条件下，危险点可能发生在 处、 处和 处。 答案 上下翼缘的最外侧、腹板的中点、腹板和翼缘的交接处 答疑 跨度较小的工字型截面梁，在上下翼缘的外侧存在最大正应力，在腹板的中点存在最大剪应力，在腹板与翼缘的交接处同时存在较大的正应力和较大的剪应力。 5、工字型截面梁在横力弯曲的作用下，翼缘的主要功能是 ；腹板的主要功能是 。 答案 抗弯、 抗剪 答疑 翼缘承担大部分的弯矩，腹板承担大部分的剪力； 简述 弯曲剪应力 1、横力弯曲时平面假设为何不成立？既然平面假设不成立，为何仍用纯弯的应力计算公式计算横力弯曲时的正应力？ 剪应力的分布规律如图： 答疑 梁承受正弯矩，在横截面上产生上压下拉的弯曲正应力，中性轴偏上，固最大拉应力大于最大压应力；横截面上的剪力不为零，在横截面上产生弯曲剪应力，在距离中性轴最远处剪应力为零，剪应力的最大值发生在中性轴处，但在截面尺寸突变处剪应力突变。 3、欲用厚度为ａ的板材粘合成一个箱型截面梁，从剪切强度考虑采用那种截面形式较为合理？为什么？ 答案 采用b的形式较为合理。 答疑 图a中，粘合面处的剪应力完全由粘合物质承担，容易发生剪切破坏；图b中粘合处有完整的立板，剪应力大部分由立板承担，不易发生剪切破坏。固b的承载能力比a图的大 答疑 横力弯曲时横截面上不但有正应力还有剪应力，由于剪应力的存在，必然要引起剪应变，剪应力沿高度并非均匀分布，所以剪应 4、说明A－A截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。 变沿高度也不是均匀分布，靠近顶面和底面处的单元体无剪应变，随着离中性层距离的减小，剪应变逐渐增加，在中性层上达到最大值，剪应变沿高度的这种变化，引起在横力弯曲时横截面不再保持为平面，固平面假设不能成立。 但是当梁的横截面高度h远小于梁的跨度L时，用纯弯得到的正应力的计算公式来计算横力弯曲的正应力，不会引起太大的误差，能够满足工程问题所需要的精度。而h< 答疑 A－A截面上存在剪力和正弯矩，固在截面上存在弯曲剪应力和弯曲正应力。 正应力的分布规律是上压下拉且连续变化，如图所示。 答案 正应力的分布规律如图： 剪应力的分布规律为：距离中性轴最远的最上端剪应力为零，在靠近上端的尺寸突变处剪应力突然增大，在下端的尺寸突变处，剪应力突 然减小，在距离中性轴最远的最下端剪应力也为零。最大剪应力不发生在中性轴上而是发生在靠近中性轴的尺寸突变处。分布规律如图所示。 答案 正方形C 答疑为了提高弯曲强度，在横截面面积不变的条件下，应选择惯性矩较大的截面形式。正方形截面比圆形截面有较大的惯性矩，但斜放的正方形截面虽然惯性矩的大小不变，但危险点离开中性轴的距离偏大，抗弯截面系数较小，所以应选择正方形C的截面形式。 5、应用材料力学方法计算梁弯曲问题时，试说明引进了哪些假设（包 括基本假设和针对梁弯曲的假设）。并说明引入这些假设的目的。 填空 提高弯曲强度 1、重物P可在梁上自由移动：① 若横梁为T字形铸铁截面梁，截面应按 方式放置？ 答疑基本假设：均匀、连续、各向同性，其主要目的是便于将高度数学的微积分工具用于研究构件的受力和变形，这也是对所有变形固体的基本假设。 在分析梁的弯曲正应力时，作了两个重要假设：一是针对纯弯曲梁的变形特征所作的平面假设，目的是便于得到简单的变形几何关系；二是纵向纤维间无正应力的假设，目的是便于利用单向应力状态的简单虎克定律。 在分析梁的弯曲剪应力时，主要是 针对横截面的具体形状，对横截面上各点剪应力的大小和方向作合理 的假设。如对矩形截面作了两个假设①横截面上各点剪应力的方向都 答案 正T型截面 平行于剪力；②剪应力沿截面宽度均匀分布。 选择 提高弯曲强度 1、等强度梁各个横截面上的 。 A：最大正应力相等 B：最大正应力相等且等于许用正应力； C：最大剪应力相等 D：最大剪应力相等且等于许用剪应力 答案 正确选择：B 答疑 等强度梁的设计原则是：变截面梁的各横截面上的最大 正应力都相等，且等于许用压力，此梁才能充分发挥作用。 2、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上 而设计的等强度梁。 A：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变； C：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变； 答案 正确选择：A 答疑 梁承受有最大正弯矩Pa和最大负弯矩－2Pa；在最大负弯矩 处产生上拉下压的正应力，材料抗压不抗拉，固横截面的中性轴应偏上，选择正T型截面。 2、铸铁梁受弯时，梁的横截面中性轴一般应设计成不对称的，其形心位置应偏向 一侧更为合理。 答案 受拉 答疑 铸铁材料抗压不抗拉，应该使梁的受拉一侧离中性轴近一些，这样梁的最大拉应力会降低，从而提高梁的强度。 简述 提高弯曲强度 1、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？ 答疑 “鱼腹梁”在工程中简化为受集中载荷作用的简支梁， 答案 a放置方式时弯曲强度最高 在设计时保持梁的横截面宽度不变，高度随截面的位置变化。 答疑 铸铁梁应该采用非对称截面，T型或倒T型，考虑到承受正弯矩，产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，应使中性轴偏3、铸铁悬臂梁在自由端受集中力F的作用，其合理的截面形状为： 下，固选择倒T截面合理。 2、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用哪种截面形式最合理？如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？ 答案 T型截面合理 答疑 悬臂梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的弯曲正应力。悬臂梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，所以应选择中性轴偏上的不对称截面形式――T型截面较合理。 4、在横截面的面积不变的条件下，采用 截面才合理。 答案 如果材料为普通碳钢应采用工字型截面、如果材料为铸铁应采用倒T型截面