其中u(n?1)是第n-1次采样之后所输出的控制变量。控制变量u(n)的值将决定第n次采样之后执行器的动作位置。
以伺服调节阀对流体流量或压力进行调节为例进行说明。若所使用的调节阀输入控制信号为4—20mA电流，则当阀门执行器输入电流为4mA时，阀门的开度值为0%，当阀门执行器输入电流为20 mA时，阀门的开度值为100% 。阀门执行器输入的介于4—20mA的任一电流值I，均与阀门的某一开度值成一一对应的关系，其对应关系表达式为：
开度%?I?4mA?100%
20mA?4mA与位置型PID算法相对应的是增量式PID算法，增量式算法适用于自身带有积分记忆元件的执行器，此类执行器的特点是：执行器的动作终点位置与之前每次输入信号的累加值相关，每次执行器所输入的控制信号所决定的是本次执行器动作终点位置相对于上一次动作终点位置的改变量，此类执行器比较典型的有步进电机和步进电机驱动阀门。增量式PID算法输出控制变量表达式为：
?u(n)?u(n)-u(n?1)?T?KP?e(n)?TI???TDTe(i)?[e(n)?e(n?1)]-Ke(n-1)????PTTIi?0??n?TDe(i)?[e(n-1)?e(n?2)]??Ti?0?n-1?KP{e(n)?e(n?1)?TTe(n)?D[e(n)?2e(n?1)?e(n?2)]}TIT5 位置型PID控制的改进算法
5.1 微分环节的改进
5.1.1 不完全微分算法
传统PID控制算法中微分环节的缺点 PID控制器微分环节输出的控制量为KPTD[e(n)?e(n?1)]，在应用实践中，如果在PID控制器T输出的第一拍控制量中即加入微分的作用，发现微分环节具有以下两点副作用。 （1）过强的微分作用，会使控制器对作用于偏差的扰动过分敏感，从而使控制系统抗干扰能力下降。 （2）微分环节有抑制偏差变化的特性。自动调节开始后微分环节所输出的第一拍控制变量为uD(1)?KPTD[e(1)?e(0)]，其中e(0)?0，e(1)为调节开始时被控变量与给定值的偏差，起作用是抑T制偏差的剧变，使被控变量向使偏差减小的方向变化。从第二拍起，随着偏差的减小，微分环节又开始抑制偏差的减小，使系统制动。因此微分环节仅在第一拍起到调节作用，从第二拍起主要起抑制超调的作用。若设置PID参数使第一拍微分作用过强，则容易使控制系统的输出出现超调或是使系统出现提前制动的现象；若设置PID参数使第一拍微分作用过弱，则不易发挥微分环节加快系统调节的反应速度，缩短调节时间的作用。 不完全微分算法即在原微分环节上添加一个具有低通滤波作用的惯性环节，其结构框图如下：
E(s)KPTDs11?TfsUD(s)
则不完全微分环节的传递函数为
UD(s)KPTDs?，即 E(s)1?TfsUD(s)?KPTDsE(s)，整理后可得 1?TfsUD(s)?TfsUD(s)?KPTDsE(s) ，转化为微分方程后为
uD(t)?TfduD(t)de(t)，用一阶后向差分方程进行离散化为 ?KPTDdtdtu(n)?uD(n?1)e(n)?e(n?1)，整理之后可得 uD(n)?TfD?KPTDTTuD(n)?TfT?TfuD(n?1)?KPTD[e(n)?e(n?1)] T?Tf完全微分与不完全微分的对比 分别对完全微分环节和不完全微分环节施加一个阶跃输入 （1）完全微分环节 e(t)10tT2T3T4T5T6Tu(t)KPTDT0tT2T3T4T5T6T 完全微分环节的输出表达式为uD(n)?KPTD其输出值由e(n)?e(n?1)来决定。 [e(n)?e(n?1)]，Te(1)?e(0)?1、e(2)?e(1)?0、e(3)?e(2)?0、e(4)?e(3)?0，则 uD(1)?KPTDT[e(1)?e(0)]?KPD TTTuD(2)?KPD[e(2)?e(1)]?0 TTuD(3)?KPD[e(3)?e(2)]?0 TTuD(4)?KPD[e(4)?e(3)]?0 TTD的输出值。 T则完全微分环节仅在第一个控制采样周期之后有幅值为KP（2）不完全微分环节 e(t)10tT2T3T4T5T6Tu(t)KPTDT?Tf0tT2T3T4T5T6T 不完全微分环节的输出表达式为uD(n)?TfT?TfuD(n?1)?KPTD[e(n)?e(n?1)]，其输出值不T?Tf仅与e(n)?e(n?1)相关，还会受到uD(n?1)的影响。 e(1)?e(0)?1、e(2)?e(1)?0、e(3)?e(2)?0、e(4)?e(3)?0，则 uD(1)?KPTDKT[e(1)?e(0)]?PD T?TfT?TfuD(2)?TfT?TfTfT?TfTfuD(1)?TfKPTD[e(2)?e(1)]?uD(1) T?TfT?TfTfTfKPTD[e(3)?e(2)]?uD(2)?()2uD(1) T?TfT?TfT?TfuD(3)?uD(2)?TfTfKPTDuD(4)?uD(3)?[e(4)?e(3)]?uD(3)?()3uD(1) T?TfT?TfT?TfT?Tf不完全微分环节不仅在第一个控制采样周期之后有幅值为KPTD的输出值，相对于完全微分环节T?Tf在第一个控制采样周期之后的输出KP出值，且个输出值以TD有了一定的衰减，而且在后面的控制采样周期之后仍然有输TTfT?Tf的比例进行衰减。 因此采用不完全微分算法，可以达到以下目的：一、衰减了完全微分环节在第一个控制采样周期之后的输出值，避免了因过强的微分作用造成系统输出产生超调的现象。二、将微分环节的调节作用扩展至第一个控制采样周期之后的多个周期，强化了微分环节的调节作用。三、衰减了微分环节的脉冲输出，提高了控制系统的抗干扰性。 5.1.2微分先行算法
微分先行即将对偏差的微分改为对被控变量的微分，微分环节的输出为
uD(n)?KPTD[c(n)?c(n?1)] T微分先行算法适用于给定值需要发生频繁改变的控制系统，对于此类系统，被控变量与给定值的偏差会出现频繁的跳变，如果对偏差进行微分，则会使微分结果产生剧烈的脉冲变化，不利于控制系统的稳定，而控制系统的被控变量输出一般不会产生突变（即使给定值改变，被控变量的变化也是一个相对缓慢的过程），采用微分先行算法在预测输出变化
趋势的同时，避免了控制量的脉冲式频繁突变，有利于系统的稳定。
5.2 积分环节的改进
积分饱和现象的产生及影响： 当控制系统输出的被控变量长时间未达到给定值时，这段时间之内积分环节所产生的控制量将形成一个很大的积累值，PID控制器的输出控制量将由于积分环节的累积作用而不断增加。当控制量达到或超出执行机构的输入信号上下限时，此后执行机构将进入饱和区，不再随着输入控制量的增加而进一步的动作。当偏差值反向时，控制器的输出控制量需要很长时间才能够退出饱和区，在这段时间之内执行机构将停留在极限位置而暂时失去控制，使控制系统性能恶化。 5.2.1 积分限幅算法
设置控制器输出控制量的极限值，当PID控制器的输出量超出设定范围后，即停止积分运算，仅保留比例及微分运算。算法原理如下所述：
TuI(n)?KPTI?e(i)
i?0n设定范围(umin,umax)
①若uI(n)?(umin,umax)，则u(n)?uP(n)?uI(n)?uD(n)?u0 ②若uI(n)?(umin,umax)，则u(n)?uP(n)?uI(n?1)?uD(n)?u0
5.2.2 积分分离算法
积分分离算法的基本思想是，当被控量与设计的偏差量偏差较大时，取消积分量，以免积分量使系统稳定性降低，超调量增大；当被控值接近定值时，引入积分控制，以消除静差，提高系统精度。算法原理如下所述：
计算e(n)?R?c(n)，设定门限值? ，控制器输出控制量为
?Tu(n)?KP?e(n)??TI??TDe(i)?[e(n)?e(n?1)]??u0 ?Ti?0?n①若|e(n)|??，时??0 ①若|e(n)|??，时??1