《信号与系统》知识要点
第一章 信号与系统
1、周期信号的判断 （1）连续信号
思路：两个周期信号x(t)和y(t)的周期分别为T1和T2，如果
T1N1?为有理T2N2数（不可约），则所其和信号x(t)?y(t)为周期信号，且周期为T1和T2的最小公倍数，即T?N2T1?N1T2。 （2）离散信号
思路：离散余弦信号cos?0n（或sin?0n）不一定是周期的，当 ①
2??02?为整数时，周期N?2??0；
②
?02??N1为有理数（不可约）时，周期N?N1； N2 ③
?0为无理数时，为非周期序列
注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。 2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义
连续信号 离散信号
2E???f(t)dtE信号能量： ??def?k????|f(k)|?N/2?2
11T2信号功率： P?lim?2Tf(t)dt P?limN??NT??T?2def|f(k)|2
k??N/2（2）判断方法
能量信号： E??，P=0 功率信号： P??，E=? （3）一般规律
①一般周期信号为功率信号；
②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；
③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
f?t??; ?0例如：ε(t)是功率信号； tε(t)为非功率非能量信号3、典型信号 ① 指数信号： f(t)?Keat，a?R ② 正弦信号： f(t)?Ksin(?t??)
③抽样信号： Sa(t)? K2π??0??0tK f?t?0 T?O2πsint t???t1Sa?t??ej?t?cos?t+jsin?t?-j?t?e?cos?t- jsin?t1j?t?j?t?cos?t?(e?e)?欧拉公式：? 2??sin?t?1(ej?t?e?j?t)2j??4、信号的基本运算
1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化
a) 反转: f(t)?f(?t) b) 平移: f(t)?f(t?t0) c) 尺度变换: f(t)?f(at)
2π?πOtπ3π3) 信号的微分和积分
注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。 5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号
?0t?0 u(t)?? t?0是u(t)的跳变点。
1t?0?（2）单位冲激信号
定义：
性质：
???????(t)dt?1 ????(t)?0t?0?1）取样性 ?????f(t)?(t)dt?f(0)
???(t?t1)f(t)dt?f(t1)f(t)?(t)?f(0)?(t)
f(t)?(t?t0)?f(t0)?(t?t0)
2）偶函数 ?(t)??(?t)
1??t? atdu(t)4）微积分性质 ?(t)? ??(?)d??u(t)
??dt（3）冲激偶 ??(t)
性质： f(t)??(t)?f(0)??(t)?f?(0)?(t)
3）尺度变换 ?(at)? ????f(t)??(t)dt??f?(0) ???(t)dt??(t)
??t ??(?t)????(t) ???(t)dt?0
???（4）斜升函数 r(t)?t?(t)???(?)d?
??t（5）门函数 G?(t)??(t?)??(t?)
226、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性
1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。
当激励为C1f1(t)?C2f2(t)时，系统的响应为C1y1(t)?C2y2(t)。 2）线性系统
①分解特性： y(t)?yzi(t)?yzs(t) ②零输入线性 ③零状态线性
（2）时不变性 :当激励为f(t?t0)时，响应为y(t?t0)。 （3）因果性 （4）稳定性
（5）微、积分特性。
??第二章 连续系统的时域分析
1、时域分析法
全响应y(t)?自由响应yh(t)?强迫响应yp(t)；
全响应y(t)?零输入响应yzi(t)?零状态响应yzs(t)；（一般都可以通过复频域分
析法求）
零状态响应yzs(t)?f(t)?h(t) 2、冲激响应与阶跃响应 （1）定义：
冲激响应：由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h(t)。 阶跃响应：由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。 （2）关系：h?t??3、卷积积分
（1）定义 f1?t?*f2?t??????tdg?t?,g?t???h???d?
??dtf1???f2?t???d?
（ 两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t ）
（2）计算：一般计算用拉普拉斯变换；如果要计算某一个值，比如设
f?t??f1?t?*f2?t?，计算f?3?，用图示法。图示法可分解为四步： 1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)
2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(-τ) 右移t → f2(t-τ) 3）乘积： f1(τ) f2(t-τ)
4）积分： τ从-∞到∞对乘积项积分。 （3）性质：
a）代数律（交换律；结合律、分配律）
b）f?t?*??t??f?t?
f?t?*??t?t0??f?t?t0?
f(t?t1)*?(t?t2)?f(t?t1?t2)
?(t)*?(t)?t?(t)
f(t)*?(t)??t??f(?)d?
c）卷积的微分与积分：设f?t??f1?t?*f2?t?，则f?i??t??f1?j??t?*f2?i?j??t? d）卷积结果函数定义域的确定
设 f1?t?的定义域为：t??t1t2?，f2?t?的定义域为：t??t3t4?，
那么f?t??f1?t?*f2?t?的定义域为：t??t1?t3t2?t4?
第三章 离散系统的时域分析
1、时域分析法
全响应y(k)=自由响应yh(k)+强迫响应yp(k)
全响应y(k)=零输入响应yzi(k)+零状态响应yzs(k) （一般都可以通过Z域分析法求）
零状态响应yzs?k??f?k?*h?k? 2、序列δ(k)和ε(k)
（1） 单位(样值)序列δ(k) 定义： def?1,k?0?(k)??
?0,k?0取样性质：
f(k)?(k)?f(0)?(k)
f(k)?(k?k0)?f(k0)?(k?k0)?
f(k)?(k)?f(0)? k???（2）单位阶跃序列ε(k)
def?1, k?0?(k)??
?0,k?0（3）ε(k)与δ(k)的关系
?(k)???(k)??(k ??1)?(k)???(i)???(k?j)
i???j?03、单位序列响应与阶跃响应 （1）定义
冲激响应：由单位冲激函数δ(k)所引起的零状态响应，记为h(k)。 阶跃响应：由单位阶跃函数ε(k)所引起的零状态响应，记为g(k)。 （2）关系
g(k)?i????h(i)??h(k?j)
j?0k? h(k)?g(k)?g(k?1) （3）两个常用的求和公式
?ak1?ak2?1a?1?j a?1?a??j?k1?k?k?1a?1?21k2?j?k1k2j?(k2?k1)(k2?k1?1) (k2≥k1 )
23、卷积和
（1）定义 f1(k)*f2(k)?i????f(i)f(k?i)
12?（2）计算：竖乘法、图解法和z变换法。有限长序列的卷积和用竖乘法；其他
情况下一般用z变换法计算，但如果只计算某一个值，比如设
f?k??f1?k?*f2?k?，计算f?3?，用图示法。图示法可分解为四步：