1）换元：k换为 i→得 f1(i)、 f2(i)
2）反转平移：由f2(i)反转→ f2(-i)平移k → f2(k-i) 3）乘积：f1(i) f2(k-i)
4）求和： i 从-∞到∞对乘积项求和。 （3）性质
a）代数律（交换律；结合律、分配律） b）f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k– k0)
f(k)*ε(k) =
i????f(i)
kf1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k– k1 – k2)* f2(k)
c）卷积和序列定义域的确定
设f1?n?的定义域为：n??n1n2?，f2?n?的定义域为：n??n3n4?，那么
f?n??f1?n?*f2?n?的定义域为：n??n1?n3n2?n4? d)卷积结果函数元素个数的确定
k1，f2(k)的元素个数为： k2，那么 若f1(k)的元素个数为：f?k??f1?k?*f2?k?的元素个数为： k1?k2?1
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
1、周期信号的傅里叶级数
任一满足狄里赫利条件的周期信号f(t)（T1为其周期）可展开为傅里叶级数。 （1）三角函数形式的傅里叶级数
f(t)?a0??[ancos(n?1t)?bnsin(n?1t)] 式中?1?n?1?2?n为正整数。， T1傅里叶系数：直流分量a0?1t0?T1f(t)dt ?tT10余弦分量的幅度an?2t0?T1f(t)cos(n?1t)dt
T1?t02t0?T1f(t)sin(n?1t)dt 正弦分量的幅度bn??T1t0三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为f(t)?a0??Ancos(n?1t??n)
n?1?（2）指数形式的傅里叶级数
f(t)?n????Fen?jn?1t 式中，n为从??到??的整数。
1t0?T1?jn?1tf(t)edt ?tT10傅里叶系数：Fn?（3）对称性
利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的对称性是隐藏的，删除直流分量后就可以显示其对称性。
①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。
4t0?T bn?0，an??2f(t)cosn?tdt f(t)?f(?t)，纵轴对称（偶函数）Tt0②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。
4t0?T an?0，bn??2f(t)sinn?tdt f(t)??f(?t)，原点对称（奇函数）Tt0③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。
T 无偶次谐波，只有奇次谐波分量 f(t)??f(t?)，半周镜像（奇谐函数）2T 无奇次谐波，只有直流和偶次谐波 f(t)?f(t?)，半周重叠（偶谐函数）22、周期信号的频谱
（1）会画单边幅度谱、相位谱和双边幅度谱、相位谱 （2）从对周期矩形脉冲信号的分析可知：
1) 信号的持续时间与频带宽度成反比;
2) 周期T越大，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱； 3) 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。
（3）周期信号的功率
2??a1T1222 P??2Tf(t)dt?(0)??An??Fn
T?22n?12n???3、傅里叶变换 （1）定义
正变换：F(?)?f[f(t)]?????f(t)e?j?tdt
反变换：f(t)?f?1[F(?)]?12?????F(?)ej?td?
说明：频谱密度函数F(?)一般是复函数，可以写作F(?)?F(?)ej?(?)。其中F(?)是F(?)的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是?的偶函数。
?(?)是F(?)的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是?的奇函数。
（2）常用变换对
① e??t??t??12?（α＞0） ②e??t?2 2??j????2?sgnt? ④ ???j?????③g??t???Sa??2⑤??t??1 ⑥1?2????? ⑦??t????????1 j?⑧cos?0t?????????0???????0??? ⑨sin?0t?j????????0???????0??? ⑩?T(t)?n?????(t?nT)????(?)????(??n?)n???????2? T4、傅里叶变换的性质
1）线性 af1(t)?bf2(t)?aF1(j?)?bF2(j?)
2）奇偶虚实性 若F(?)?R(?)?jX(?)，则
①若f(t)是实偶函数，则F(?)?R(?)，即F(?)为?的实偶函数； ②若f(t)是实奇函数，则F(?)?jX(?)，即F(?)为?的虚奇函数。 3）对称性 F(jt)?2?f(??) 4）尺度变换 f(at)???1?F(j) aa5）时移特性 f(t?t0)??F(j?)?e-j?t0 6）频移特性 f(t)?ej?0t??F[j(???0)] 7）时域卷积 f1(t)?f2(t)??F1(j?)?F2(j?) 频域卷积 f1(t)?f2(t)??1[F1(j?)?F2(j?)] 2?dnf8）时域微分 n??(j?)n?F(j?)
dt时域积分 ?t??f(?)d???1F(j?)??F(0)?(?) j? 其中 F(0)?nndFn(j?)9）频域微分 tf(t)??j? nd?????f(t)dt频域积分 ?f(0)?(t)??1f(t)??F(?)d?
??jt 其中f(0)?5、帕斯瓦尔定理（能量等式）
?12?????F(j?)d?
?1E???f(t)?dt???2?6、周期信号的傅里叶变换
2???F(j?)d?
2F[f(t)]?2?n?????F?(??n?)
n?或F[f(t)]???F0(jn?)?(??n?)
n???7、频域分析
（1）对于LTI系统，若输入为非周期信号，系统的零状态响可用傅里叶变换求得。其方法为：
1) 求激励f(t)的傅里叶变换F(j?)。 2) 求频域系统函数H(j?)。
3) 求零状态响应yzs(t)的傅里叶变换Yzs(j?)，即Yzs(j?)= H(j?) F(j?)。
-1
4) 求零状态响应的时域解，即yzs(t)= F [Yzs(j?)] （2）无失真传输 |H(jw)|在时域中，无失真传输的条件是 y(t)?Kf(t?t0)
?j?t0在频域中，无失真传输系统的特性为 H(j?)?Ke Kω0（3）理想滤波器
?(w)理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过，且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器。理想滤波器是非因果性的，物理上不可实现的。其频率响应为
|H(jw)|?j?td?,???c?e1H(j?)?? ?c称为截止角频率
???c??0,ω即?在0~?c的低频段内，传输信号无失真 。
ωC-ωC08、时域取样定理
?(w)（1）为恢复原信号，必须满足两个条件：
1）f(t)必须是带限信号；
2）取样频率不能太低，必须fs≥2fm，
或者说，取样间隔不能太大，必须Ts≤1/(2fm)；否则将发生混叠。 （2）通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率； 把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
第五章 连续系统的s域分析
1、拉氏变换
（1）定义（单边）
F(s)???0?f(t)e?stdt
（2）收敛域
使得拉氏变换存在的S平面上?的取值范围称为拉氏变换的收敛域。
1）f(t)是有限长时，收敛域为整个S平面； 2）f(t)是右边信号时，收敛域为???0的右边区域； 3）f(t)是左边信号时，收敛域为???0的左边区域； 4）f(t)是双边信号时，收敛域为S平面上一条带状区域。
说明：我们讨论单边拉氏变换，只要?取得足够大总是满足绝对可积条件，
因此一般不写收敛域。
（3）常用变换对
1①eatU?t?? ( a为任意常数) ②??t??1
s?a11③??t?? ④t??t??2
ss⑤cos?0t??t??⑦?T(t)??0ssin?t?t? ⑥ ??022s2??0s2??01 ?sT1?e2、拉普拉斯变换的性质
①线性: a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(s)?a2F2(s) ②尺度变换: f(at)?1sF() aa③时移: f(t?t0)?(t?t0)?F(s)e?st0 ④频移: f(t)es0t?F(s?s0)
dnf(t)?snF(s)?sn?1f(0?)?sn?2f?(0?)?⑤时域微分: ndt?f(n?1)(0?)