??b??bbrrr
则实际的系统函数可表示为:
?(z)?H?z?kb?k?kz?k1??ak?1k?0NM
从上式可以看出，系数量化后的频率响应已不同于最初设计的频率响应。
当用直接型结构来实现该滤波器时，系数ak和bk都将直接出现在信号流程图中，其中ak影响着极点的位臵。当由于系数量化误差使一个极点从单位圆内移动到单位圆上或单位圆外时，滤波器的稳定性即受到破坏。所以，只要有一个系数由于量化产生很微小的误差，就有可能使系统失去稳定。反馈支路的阶次N越高，使滤波器失去稳定的系数量化误差的绝对值就越小，则越容易使滤波器变得不稳定。
现假设,某个系数ar由于量化（舍入处理）引入误差△ar后变成
?r?r，即 aa变为
?ar??ar 于是传输函数的分母多项式
N ?D(z)?1??akz?k??arz?r?D(z)??arz?r
k?1当系数量化误差△ar使一个极点从单位园内移动到单位圆上或外时，滤波器的稳定性即受到破坏。为了讨论方便，假设有一个极点移到单位圆上，即移到z=1点，这时有
?D(1)?D(1)??ar?0
由上式可求出
?ar?D(1)?1??ak??(1?pk)???pk
k?1k?1k?1NNN其中pk是极点，pk=1+Δpk
由于前面已假设所有极点都聚集在z=1点附近，即Δpk<<1,或pk
≈1，因而?ar??1；这意味着，只要有一个系数由于量化产生很微小的误差，就有可能使系统失去稳定。从
?ar?1??ak??(1?pk)???pk式还看出，
k?1k?1k?1NNN反馈支路的阶次N越高，使滤波器失去稳定的系数量化误差的绝对值就越小，也就是说越容易使滤波器变得不稳定。 【7-6】已知一个3阶IIR数字滤波器的系统函数为
11H(z)???13(1?0.99z)1?2.97z?1?2.9403z?2?0.970299z?3
为使滤波器保持稳定，在对滤波器系数进行舍入量化时，至少应当采用几位字长？假设用直接型结构来实现该滤波器。
解：由题给系统函数看出，该滤波器在z=0.99处有一个3阶极点，且在z=1附近。假设H(z)的分母多项式的某一系数ar的量化误差为△ar，当其绝对值达到
?ar?1??ak?1?2.97?2.9403?0.970299?10?6
k?1N
规定的限度时，滤波器的极点将移动到z=1处，从而使滤波器不稳定。
当系数用b位（不含符号位）定点二进制小数表示时，舍入量化误差绝对值将不会大于q/2=2-b-1。由于10-6>2-20，所以若b选为19，则系数的舍入量化误差绝对值将不会超过2-20或10-6，从而保证极点不会移到单位圆上或外，保持了滤波器工作的稳定。
【7-7】若用3个相同的1阶IIR滤波器的级联来实现例7-6中的数字滤波器，为了使该级联结构稳定，求1阶节IIR滤波器的系数的量化字长。
解：根据例7-6所给出的滤波器系统函数，可以看出级联结构中的1阶节IIR滤波器的系统函数为
1H(z)?
1?0.99z?1每一个1阶的极点都是相同的z=0.99。由?ar?1?N?ak?1Nk可得
?ar?1??ak?1?0.99?10?2?2?7
k?1所以为了维持级联结构稳定，只需维持3个1阶节稳定，由
?ar?2?7可看出，只要用6位字长的二进制数来表示系数0.99
就够了。
从例7-6和例7-7看出，就滤波器系数的量化误差对滤波器稳定性的影响而言，级联结构比直接结构要轻微得多。这一结论具有普遍意义。
二.系数量化误差对滤波器零、极点位臵的影响
系数量化误差导致实际的频率响应与理论上要求的频率响应不同，或者说表现在零点和极点位臵偏离了理论上规定的位臵。
引入极点位臵灵敏度的概念，来衡量每个极点位臵对各系数量化偏差的敏感程度。
不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”的情况下，其量化灵敏度是不同的。用同样的方法可以分析零点位臵灵敏度，但极点对系统的影响更大，直接影响到系统得稳定性，所以更为人们所注意和研究。因此，为了得到与理想频率特性尽可能接近的实际频率特性，应当选择极点和零点位臵对系数量化误差最不敏感的那些结构形式。
?r设滤波器的传输函数为H(z)，系数ak 和bk经舍入量化后变为a?b和r，系数量化误差是△a和△b。
kkH(z)有N个极点，用 Pi（=1,2,… N）表示。这样，实际的滤波器的传输函数为:
?k??bkzM?k??bkzk?0?1
[1?(p??p)z?ii]i?1NMH(z)??kz?k1??ak?1k?0N?上式中，?pi是第i个极点位臵的偏移，称为极点误差，它是由?ak系数量化误差引起的。?pi与?ak之间的关系是:
?pi?pi???ak,i?1??N
k?1?akN式中，?pi?ak的大小直接影响第k个系数偏差 ?pi?ak
所引起的第i个极点偏差 ?pi 的大小；?pi越大。
也即?pi?ak越大，?pi
?ak是说明第i个极点的位臵对分母多项式中第k个
系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为极点敏感度 。
经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：
?pi??ak?pk?1NN?ki?(pl?1l?iNi?pl)
上式即是系数量化偏差引起的第i个极点的偏差。
说明了滤波器的第i个极点的位臵对传输函数分母多项式的第k个系数的量化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。
具体来说，由上式可以得出以下结论： （1）分母多项式中，(pi?pl)是极点pl指向极点
pi
的矢量，整个分母是所有极点与第i个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果所有N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘