流图来表示，由此不难计算滤波器输出端的信噪比。采用图7-5的统计模型。
在分析数字滤波器由于乘法舍入的影响时，需对各种噪声源作相关假设：
①系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声（均值为零）； ②所有的运算量化噪声，以及和信号之间均不相关； ③量化噪声在自己的量化范围内均匀分布。
(a)理想相乘
（b）实际乘法支路及其量化的线性模型
图7-5 定点制相乘运算模型
当信号波形越复杂，量化步距越小时，这些假定越接近实际。根
2?b2?b,?]内均匀分布，据这些假定，可认为舍入噪声是在范围[?222??b22??E[e(n)]?m?E[e(n)]?0??2均值为e,方差为 e ，。
12
然后按照统计模型，利用白噪声通过线性系统来求解每一个噪声源所产生的输出噪声，为总输出噪声。
下面分别写出噪声源 e(n) 所造成的输出噪声的方差和均值：
2?122jw?f??eH(e)d?e? (7-8) 2?j??也可以利用Z变换中的巴塞伐尔定理（Parseval）得出下式
??12?1?122?2??H(z)H(z)zdz??h(k)?feeeee??（7-9） 2?jck???总的输出噪声的方差也等于每个输出噪声方差之和
二.定点FIR滤波器的有限字长效应
用直接型或级联型等非递归结构实现FIR数字滤波器，由于舍入噪声没有反馈环节的积累，故其影响也就比同阶的IIR滤波器小，通常采用统计模型方法来分析有限字长效应。下面以横截型结构为例，分析FIR滤波器的量化噪声。
N阶FIR数字滤波器直接型结构的统计模型如图7-9所示，系
统函数为:
H(z)??h(m)zm?0N?1?m
系统差分方程为:
y(n)??h(m)x(n?m) （7-10）
m?0N?1
图7-9 FIR 系统直接形式舍入运算误差统计模型 同样对各噪声作如下假设：
①系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声（均值为零）； ②所有运算量化噪声，以及和信号之间均不相关； ③量化噪声在自己的量化范围内均匀分布。 则此时输出为:
?(n)?y(n)?f(n) y?y(n)??em(n) （7-11）
m?0N?1?(n)分别为无限精度与乘积为有限精度情况下的其中，y(n)、y输出，
f(n)为输出噪声
N?1N?1N?1?(n)??Q[h(m)x(n?m)]??h(m)x(n?m)??em(n)（7-12）y
m?0m?0m?0
从式（7-11）可以知 :
f(n)??em(n)
m?0N?122??N?e?故输出噪声的方差（功率）为: f12qN (7-13) 12
结果表明:
FIR系统定点舍入运算误差直接到达输出端，与系统的参数无关；
?Lq?2由于，故输出噪声与字长有关，也与滤波器阶数有关。
滤波器阶数越高，字长越短，量化噪声也越大。
7.7
浮点运算数字滤波器和FFT算法中的有限字长效应
浮点计算中，不论加法或乘法，每次运算之后，都要做一次尾数的舍入或截尾处理，由此引入误差。
浮点运算具有以下特点：
①浮点数的动态范围宽，因而浮点运算一般不需要考虑溢出问题；
②进行浮点运算时，乘法和加固法运算结果的尾数字长都会增加，因而必须进行截尾或舍入处理以限制字长，通常用得较多的是舍入处理；
③量化误差不仅用绝对误差，而且较多的情况下要用相对误差来分析。
当用有限字长浮点运算来实现数字滤波器和FFT算法时，加法运算和乘法运算都会引入舍入量化噪声，这些噪声可以用绝对误差来表示，这与定点运算的分析方法相同，即把舍入量化作用等效为理想的精确计算结果之上叠加一个噪声源。
这个噪声源就舍入量化绝对误差序列e(n)，即：
Q[x(n)]?x(n)?e(n)
x(n)是精确计算结果，Q[x(n)] 是舍入量化后的结果。
浮点运算后的舍入量化作用，也可以用
Q[x(n)]?[1??(n)]x(n) 作为模型，x(n)是精确计算结果，
Q[x(n)]是舍入量化后的结果，?(n)是舍入量化的相对误差 ：
Q[x(n)]?x(n)e(n)?(n)?? x(n)x(n) （7-14）
对浮点运算来说，它有两种统计模型：
一种是以绝对误差与精确值相加来表示量化后的值，常称为加性误差模型或非移变模型，因为这种模型是非移变系统。 另一种是以相对误差形成的系数与精确值相乘来表示量化后的值，常称为乘性误差模型或移变模型，因为这种模型是移变系统。