积就很小，第i个极点的位臵对系数量化误差就非常敏感，即极点位臵灵敏度高，相应的极点偏差就大。
我们知道，低通滤波器的极点聚集在z=1附近，高通滤波器的极点聚集在z=-1附近，而带通滤波器的极点聚集在z??ej?和z?e?j?附
00近，这里?0是带通滤波器通带的中心频率，因此，低通和高通滤波器各极点间的距离都比带通滤波器的要小很多，所以，低通和高通滤波器的极点位臵受系数量化效应的影响都要比带通滤波器大。若滤波器的带宽为??，则极点聚集的紧密程度可用??/?s来衡量，这里?s是取样频率，??/?s越小意味着极点聚集得越紧密。若??保持不变，那么，随着取样频率?s的提高极点聚集得越来越紧密，因而极点位臵对系数量化效应越来越敏感。这意味着，为了使实际的频率特性尽可能小地偏离理论上要求的频率特性，就应该尽可能地提高系数的量化精度，或者说，应该尽可能选择位数较多的量化器字长。
（2）极点偏差与系统函数的阶数N有关，阶数越高，滤波器的极点位臵对系数量化误差越敏感，极点偏差也大。对于稳定的因果滤波器来说，由于全部极点都在单位园内，所以(pi?pl)的绝对值
都小于1。所以极点越多，l?1l?i?(pNi?pl) 就越小。也就是说
阶数越高的滤波器的极点位臵对系数量化误差越敏感。因此，高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要更加敏感，同理，并联型结
构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结构时，由于各二阶节相互独立级联或并联的结构来实现，而很少采用直接型结构。
（3）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对复共轭极点，特别是对于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都相距较远，因而系数量化误差对极点臵的影响格外小。
综上所述，为了减小系数量化误差对极点位臵的影响，系统的结构应当避免采用高阶的直接型结构，而最好采用由一阶或二阶节构成的级联或并联结构来实现。这样可避免较多的零、极点集中在一起。通常为了能够独立地控制各节的极点或零点，多选用级联结构。
7.5 有限字长定点运算IIR滤波器
的极限环振荡和死带效应
一．极限环振荡
用有限字长定点运算实现IIR数字滤波器时，在乘法运算后要采用舍入处理来限制字长，从而引入量化噪声，并在滤波器输出端引起响应，这个问题已在上节详细讨论过了。本节讨论这种量化噪声在一定条件下会引起滤波器产生非线性振荡，这一现象称为零输入极限环振荡或简称为极限环振荡现象。
设有一个1阶IIR数字滤波器，其差分方程为
y(n)?0.625y(n?1)?x(n)
现用3位字长（不含符号位）的定点运算来实现该滤波器。因此，在每次完成乘法运算0.625y(n?1)之后都要及时进行舍入处理，将字长限制到3位。图7-4是上式所定义的滤波器工程实现非线性模型，该模型由下式描述
w(n)?QR[0.625w(n?1)]?x(n)
其中，QR[]表示舍入量化处理。
x(n)Q [ ]R0.625z-1w(n)w(n-1)
图7-4 y(n)?0.625y(n?1)?x(n)数字滤波器的非线性模型 现在利用图7-4或w(n)?QR[0.625w(n?1)]?x(n)所示的非线性模型来计算当x(n)?0.375?(n)时滤波器的输出响应w(n)。
根据w(n)?QR[0.625w(n?1)]?x(n)，可依次求出
n=0,1,2,……时滤波器的输出响应w(n)，将迭代计算过程中数据列入表7-3，该表中的所有数据都是用二进制表示的。
表7-3 用4位字长定点运算计算y(n)?0.625y(n?1)?x(n)
n x(n) w(n-1) A=0.101w(n-1) QR[A] w(n) 0.000 0.010 0.011 0.010 0 0.011 0.000 0.000000 1 0.000 0.011 0.001111
2 0.000 0.010 0.001010 3 0.000 0.001 0.000101 4 0.000 0.001 0.000101 … … … … 0.001 0.001 0.001 … 0.001 0.001 0.001 … 图7-5(a)所示的是滤波器输出序列w(n)的图形。用类似的方法可计算出得到系数取为-0.625、输入仍然是x(n)?0.375?(n)时滤波器的输出响应w(n)，如图7-5(b)所示。
w(n)3/82/81/81/81/81/81/81/8n1/82/81/81/8w(n)3/81/81/81/8n
(a)w(n)?QR[0.625w(n?1)]?0.375?(n) (b) w(n)?QR[?0.625w(n?1)]?0.375?(n)
图7-5 极限环振荡
从图7-5(a)可以看出，当滤波器输入x(n)衰减为零后，滤波器输出并不随之也衰减为零而是保持为非零值1/8。对于系数为-0.625的滤波器来说，滤波器的输出在零输入时为一个等幅振荡。这种零输入极限环振荡现象是由有限字长定点运算中的舍入量化误差引起的。
在理想情况下，y(n)??0.625y(n?1)?x(n)所定义的滤波器是一个稳定系统，因为它有唯一的单位园内的极点z=〒0.625。当输入信号x(n)?0.375?(n)衰减到零时，滤波器的输出y(n)随之很快衰
减为零。事实上，若设初始条件为y(-1)=0，则由式
y(n)??0.625y(n?1)?x(n)的迭代运算可计算出滤波器的输出
为
y(0)=0.375 y(1)=〒0.234375 y(2)=0.1464843 y(3)=〒0.0915527 y(4)=0.0572204 y(5)=〒0.0357627,…
y(n)?0.375(?0.625)n
可以看出随着n的增加，y(n)随之很快衰减为零。
但是，当用3位字长定点运算来实现该滤波器时，在每次计算乘积?0.625w(n?1)之后都要进行舍入处理，以把字长限制到3位。表7-3中第4列是乘积0.625w(n?1)的二进制表示，第5列是舍入量化处理后的结果。可以看到，在n=3时乘积本来已经将为0.000101了，但对其进行舍入处理后，该乘积又增大为0.001了。这就使w(4)的保持为0.001不变。由于这个原因，此后的每次迭代运算都是这种情况的循环。
有限字长定点乘法运算后进行舍入处理造成输出恒定不变或振荡，这一现象也可以从另外一个角度来解释。该滤波器只有一个极点z=0.625,二进制表示为0.101，位于单位园内，滤波器是稳定的。但在n=3之后，乘法运算后进行舍入处理的结果使下式成立：
QR[0.625w(n?1)]?w(n?1) n≥3
即w(n)?QR[0.625w(n?1)]?x(n)变为w(n)?w(n?1)?x(n) 该式意味着,滤波器的极点已经由原来的位臵z=0.625变为z=1,于是滤波器的稳定性从此遭到破坏,从而形成振荡。图7-5(a)可以认为是